Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} +
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất M của \(F\left( a \right) + F\left( b \right)\) với \(a + b = 4\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Tìm \(F\left( x \right)\)
- Đưa về đa thức 1 biến và lập bảng biến thiên tìm giá trị nhỏ nhất
Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\\F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\end{array}\)
Lại có: \(F\left( a \right) + F\left( b \right) = a + \ln \left( {{a^2} + 1} \right) + b + \ln \left( {{b^2} + 1} \right) = 4 + \ln \left[ {\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {4 - a} \right)}^2} + 1} \right)} \right]\)
Xét \(g\left( a \right) = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {4 - a} \right)}^2} + 1} \right) = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^2} - 8a + 17} \right)\)
\(\begin{array}{l}g'\left( a \right) = 2a\left( {{a^2} - 8a + 17} \right) + \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {2a - 8} \right) = 4{a^3} - 24{a^2} + 36a - 8\\g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow 4{a^3} - 24{a^2} + 36a - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = 2 + \sqrt 3 \\a = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên
Suy ra \(M = 4 + \ln 16 = 4\left( {1 + \ln 2} \right)\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
