Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O, đường kính AB = 2R. Cho O1 là điểm đối xứng của O qua A. Lấy điểm S sao cho SO1 ⊥ (P) và SO1 = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn O và điểm S.

Câu hỏi số 6283:

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O, đường kính AB = 2R. Cho O₁ là điểm đối xứng của O qua A. Lấy điểm S sao cho SO₁ ⊥ (P) và SO₁ = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn O và điểm S.

A. V = $\dpi{100} \frac{65}{48}$ $\dpi{100} \sqrt{65}$ . $\dpi{100} \pi$ .R³ (đvtt)

B. V = $\dpi{100} \sqrt{65}$ . $\dpi{100} \pi$ .R³ (đvtt)

C. V = $\dpi{100} \frac{65}{48}$ . $\dpi{100} \pi$ .R³ (đvtt)

D. V = $\dpi{100} \frac{65}{48}$ .R³ (đvtt)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:6283

Giải chi tiết

Trước hết ta cần biết :

-Tâm của mặt cầu qua đường tròn bất kì trong không gian nằm trên trục của đường tròn là đường thẳng qua tâm đường tròn và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn. Trong bài này ta gọi trục đường tròn là ∆. Khi đó ∆ // SO₁.

-Mặt cầu đi qua A, S ⇒ Tâm mặt cầu thuộc mặt phẳng trung trực của SA. Do SO₁ // ∆

⇒ Có mặt phẳng (P) chứa SO₁ , ∆. Vậy mặt phẳng trung trực của SA cắt (P) theo giao tuyến là trung trực của SA trong mặt phẳng (P). Gọi K là trung điểm của SA . Trong mặt phẳng (P) kẻ đường thẳng qua K vuông góc SA cắt ∆ ở O₂. O₂ là tâm mặt cầu cần tìm. Kí hiệu mặt cầu là (C). (C) có tâm O₂, bán kính R₁ = SO₂ = O₂A (1)

Trong ∆AOO₂ ⇒ O₂A = $\dpi{100} \sqrt{OO_{2}^{2}+OA^{2}}$ ; OA = R. (2)

Trong ∆SHO₂ ⇒ SO₂ = $\dpi{100} \sqrt{SH^{2}+HO_{2}^{2}}$ (O₂H ⊥ SO₁ )

= $\dpi{100} \sqrt{(SO_{1}-O_{1}H)^{2}+O_{2}H^{2}}$

= $\dpi{100} \sqrt{4R^{2}+(2R-OO_{2})^{2}}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ OO₂² + OA² = 4R² + (2R – OO₂)²

⇔ OO₂² + R² = 4R² + 4R² – 4R.OO₂ + OO₂²

⇔ OO₂ = $\dpi{100} \frac{7R}{4}$

Vậy bán kính mặt cầu:

R₁ = $\dpi{100} \sqrt{\frac{49R^{2}}{4^{2}}+R^{2}}$ = $\dpi{100} \sqrt{\frac{65R^{2}}{4^{2}}}$ = $\dpi{100} \frac{R}{4}$ $\dpi{100} \sqrt{65}$

⇒ V = $\dpi{100} \frac{4}{3}$ $\dpi{100} \pi$ R₁³ = $\dpi{100} \frac{65}{48}$ $\dpi{100} \sqrt{65}$ . $\dpi{100} \pi$ .R³ (đvtt)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.