Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} =

Câu hỏi số 628708:

Vận dụng

Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4;\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx = 2} \). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( {f\left( {2x - 5} \right)} \right)dx} \).

A. 6.

B. \( - 4\).

C. \(\dfrac{3}{2}\).

D. \(\dfrac{7}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628708

Phương pháp giải

Dựa vào dữ kiện tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4;\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx = 2} \), tìm hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\).

Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( {f\left( {2x - 5} \right)} \right)dx} \).

Giải chi tiết

Giả sử hàm số bậc nhất \(f\left( x \right) = ax + b,\,\,a \ne 0\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4\\\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx = 2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left( {ax + b} \right)dx} = 4\\\int\limits_2^3 {\left( {ax + b} \right)dx = 2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left. {\dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}{{2a}}} \right|_0^1 = 4\\\left. {\dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}{{2a}}} \right|_2^3 = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {b^2}}}{{2a}} = 4\\\dfrac{{{{\left( {3a + b} \right)}^2} - {{\left( {2a + b} \right)}^2}}}{{2a}} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 2ab = 8a\\5{a^2} + 2ab = 4a\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{a^2} = - 4a\\{a^2} + 2ab = 4a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( L \right)\\a = - 1\end{array} \right.\\{a^2} + 2ab = 4a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\1 - 2b = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = - x + \dfrac{5}{2}\end{array}\).

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( {f\left( {2x - 5} \right)} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left[ { - f\left( {2x - 5} \right) + \dfrac{5}{2}} \right]dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ { - \left( { - \left( {2x - 5} \right) + \dfrac{5}{2}} \right) + \dfrac{5}{2}} \right]dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ { - \left( { - 2x + \dfrac{{15}}{2}} \right) + \dfrac{5}{2}} \right]dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {2x - \dfrac{{15}}{2} + \dfrac{5}{2}} \right]dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {2x - 5} \right]dx} = \left. {\left( {{x^2} - 5x} \right)} \right|_0^1 = - 4.\end{array}\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.