Trong không gian cho hệ trục \(Oxyz\), lấy các điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0}

Câu hỏi số 628720:

Vận dụng cao

Trong không gian cho hệ trục \(Oxyz\), lấy các điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\), \(D\left( {a + a\sqrt {{b^2} + {c^2}} ;b\sqrt {{a^2} + {c^2}} ;c\sqrt {{b^2} + {a^2}} } \right)\) với \(a,b,c\) dương. Biết diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(\dfrac{3}{2}\) (đvdt) và thể tích tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) là \(mx + ny + pz + 1 = 0\). Tính \(m + n + p\).

A. \( - 2\).

B. \( - 1\).

C. 2.

D. 0.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628720

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT: \({\left( {ax + by + cz} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}\).

Giải chi tiết

Nhận xét: \({V_{ABCD}}\max \Leftrightarrow d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right)\max \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {bc;ac;ab} \right)\).

Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2}} = \dfrac{3}{2}\).

\(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right) \Rightarrow \left( {ABC} \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

\(\begin{array}{l}d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{a + a\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{a} + \dfrac{{b\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}{b} + \dfrac{{c\sqrt {{b^2} + {a^2}} }}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} }}\\ = \dfrac{{\left| {\sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{a^2} + {c^2}} + \sqrt {{b^2} + {a^2}} } \right|}}{{\sqrt {\dfrac{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} }}\end{array}\).

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\left| {\sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{a^2} + {c^2}} + \sqrt {{b^2} + {a^2}} } \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} }}\\ = \dfrac{{abc\left( {\sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{a^2} + {c^2}} + \sqrt {{b^2} + {a^2}} } \right)}}{3}\end{array}\)

\( = \dfrac{1}{3}\left( {bc\sqrt {{a^2}{b^2} + {a^2}{c^2}} + ac\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2}} + ab\sqrt {{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} } \right)\).

\(\mathop \le \limits^{B.C.S} \dfrac{1}{3}.\sqrt {\left( {{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2}} \right)\left( {2{b^2}{c^2} + 2{a^2}{c^2} + 2{a^2}{b^2}} \right)} = \dfrac{1}{3}.\sqrt 2 .9 = 3\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2} = 9\\a = b = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt[4]{3}\).

\( \Rightarrow {V_{ABCD}}\max \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt[4]{3}\).

Khi đó: \(A\left( {\sqrt[4]{3};0;0} \right),B\left( {0;\sqrt[4]{3};0} \right)\), \(D\left( {\sqrt[4]{3} + \sqrt 6 ;\sqrt 6 ;\sqrt 6 } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[4]{3}m + 1 = 0\\\sqrt[4]{3}n + 1 = 0\\\left( {\sqrt[4]{3} + \sqrt 6 } \right)m + \sqrt 6 n + \sqrt 6 p + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}}\\n = - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}}\\ - \dfrac{{\sqrt[4]{3} + \sqrt 6 }}{{\sqrt[4]{3}}} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt[4]{3}}} + \sqrt 6 p + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}}\\n = - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}}\\p = \dfrac{2}{{\sqrt[4]{3}}}\end{array} \right. \Rightarrow m + n + p = 0\end{array}\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.