Cho hai elip \(\left( {{E_1}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) và \(\left( {{E_2}}

Câu hỏi số 628962:

Thông hiểu

Cho hai elip \(\left( {{E_1}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) và \(\left( {{E_2}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó.

b) Chứng minh rằng với mỗi điểm \(M\) thuộc elip \(\left( {{E_2}} \right)\) thì trung điểm \(N\) của đoạn thẳng OM thuộc elip \(\left( {{E_1}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628962

Giải chi tiết

a) \(\left( {{E_1}} \right)\) có \({a_1} = 5,{b_1} = 4 \Rightarrow {c_1} = \sqrt {a_1^2 - b_1^2} = 3 \Rightarrow \) tâm sai \({e_1} = \dfrac{{{c_1}}}{{{a_1}}} = \dfrac{3}{5}\).

(E \({E_2}\) ) có \({a_2} = 10,{b_2} = 8 \Rightarrow {c_2} = \sqrt {a_2^2 - b_2^2} = 6 \Rightarrow \) tâm sai \({e_2} = \dfrac{{{c_2}}}{{{a_2}}} = \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{3}{5}\)

Vậy \({e_1} = {e_2}\).

b) Giả sử \(M\) có toạ độ là \((x;y)\). Khi đó \(N\) có toạ độ là \(\left( {\dfrac{x}{2};\dfrac{y}{2}} \right)\).

Vi M thuộc ( \(\left. {{E_2}} \right)\) nên \(\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{4.25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{4.16}} = 1\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{{25}} + {\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{{16}} = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}{{25}} + \dfrac{{{{\left( {\dfrac{y}{2}} \right)}^2}}}{{16}} = 1\end{array}\)

Như vậy toạ độ của \(N\) thoả mãn phương trình của \(\left( {{E_1}} \right)\), do đó \(N\) thuộc \(\left( {{E_1}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.