Cho hai elip \(\left( {{E_1}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) và \(\left( {{E_2}}

Câu hỏi số 628962:

Thông hiểu

Cho hai elip \(\left( {{E_1}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) và \(\left( {{E_2}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó.

b) Chứng minh rằng với mỗi điểm \(M\) thuộc elip \(\left( {{E_2}} \right)\) thì trung điểm \(N\) của đoạn thẳng OM thuộc elip \(\left( {{E_1}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628962

Giải chi tiết

a) \(\left( {{E_1}} \right)\) có \({a_1} = 5,{b_1} = 4 \Rightarrow {c_1} = \sqrt {a_1^2 - b_1^2} = 3 \Rightarrow \) tâm sai \({e_1} = \dfrac{{{c_1}}}{{{a_1}}} = \dfrac{3}{5}\).

(E \({E_2}\) ) có \({a_2} = 10,{b_2} = 8 \Rightarrow {c_2} = \sqrt {a_2^2 - b_2^2} = 6 \Rightarrow \) tâm sai \({e_2} = \dfrac{{{c_2}}}{{{a_2}}} = \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{3}{5}\)

Vậy \({e_1} = {e_2}\).

b) Giả sử \(M\) có toạ độ là \((x;y)\). Khi đó \(N\) có toạ độ là \(\left( {\dfrac{x}{2};\dfrac{y}{2}} \right)\).

Vi M thuộc ( \(\left. {{E_2}} \right)\) nên \(\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{4.25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{4.16}} = 1\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{{25}} + {\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{{16}} = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}{{25}} + \dfrac{{{{\left( {\dfrac{y}{2}} \right)}^2}}}{{16}} = 1\end{array}\)

Như vậy toạ độ của \(N\) thoả mãn phương trình của \(\left( {{E_1}} \right)\), do đó \(N\) thuộc \(\left( {{E_1}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.