Cho a, b, c là các số thực ≠ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 6297:

Cho a, b, c là các số thực ≠ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: $\dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}}$ ≥ $\dpi{100} \frac{3}{5}$

A. Dấu "=" xảy ra khi -a = b = c

B. Dấu "=" xảy ra khi a = b = -c

C. Dấu "=" xảy ra khi a = -b = c

D. Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:6297

Giải chi tiết

Ta áp dụng: (b + c)² ≤ 2(b² + c²) ; (a + b)² ≤ 2(a² + b²) ; (a + c)² ≤ 2(a² + c²).

Vậy: VT ≥ $\dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}}$

⇒ VT + 3 ≥ ( $\dpi{100} \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}$ + 1) + ( $\dpi{100} \frac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}}$ + 1) + ( $\dpi{100} \frac{c^{2}}{c^{2}+(a+b)^{2}}$ + 1)

= $\dpi{100} \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{b^{2}+2a^{2}+2c^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{c^{2}+2(a^{2}+b^{2})}$

= 2(a² + b²+ c²)[ $\dpi{100} \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{1}{b^{2}+2a^{2}+2c^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{1}{c^{2}+2a^{2}+2b^{2}}$ ]

Áp dụng ∀ A, B, C > 0, ta có: (A + B + C)( $\dpi{100} \frac{1}{A}$ + $\dpi{100} \frac{1}{B}$ + $\dpi{100} \frac{1}{C}$ ) ≥ 9.

Ta viết lại:

VT + 3 ≥ $\dpi{100} \frac{2}{5}$ .(5a² + 5b²+ 5c²)( $\dpi{100} \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{1}{b^{2}+2a^{2}+2c^{2}}$ + $\dpi{100} \frac{1}{c^{2}+2a^{2}+2b^{2}}$ )

≥ $\dpi{100} \frac{2}{5}$ .9 = $\dpi{100} \frac{18}{5}$ ⇒ VT ≥ $\dpi{100} \frac{18}{5}$ - 3 = $\dpi{100} \frac{3}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.