Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\), có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

Câu hỏi số 630026:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\), có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Cho \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(SC\), cắt \(SB,SC,SD\) lần lượt tại \(H,M,K\).

a) Chứng minh: \(AH \bot SB\,;\,\,AK \bot SD\)

b) Chứng minh: \(BD||\left( \alpha \right)\)

c) Chứng minh \(HK\) đi qua trọng tâm của tam giác \(SAC\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh: \(AH \bot SB\,;\,\,AK \bot SD\)

+ Do \(SC \bot \left( \alpha \right) \Rightarrow SC \bot AH\)

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SB\) (đpcm)

b) Chứng minh: \(BD||\left( \alpha \right)\)

Ta chứng minh \(BD||HK\)

\(\Delta SAB = \Delta SAD\) (2 cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{SK}}{{SD}} \Rightarrow HK||BD\) (Ta-let đảo)

\( \Rightarrow BD||\left( {AHMK} \right) \Rightarrow BD||\left( \alpha \right)\) (đpcm)

c) Chứng minh \(HK\) đi qua trọng tâm của tam giác \(SAC\).

Gọi \(HK \cap SO = \left\{ G \right\}\)

\(HK||BD \Rightarrow HG||BO \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SK}} = \dfrac{{SG}}{{SO}}\)

Ta có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) có \(AH \bot SB \Rightarrow S{A^2} = SH.SB \Rightarrow \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }}} \right)^2} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{SG}}{{SO}} = \dfrac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \) \(G\) là trọng tâm \(\Delta SAC\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:630026

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.