Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Câu hỏi số 632501:

Vận dụng cao

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(a\sqrt 2 ,\) \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\). Khi độ dài cạnh AB thay đổi, thể tích khối chóp S.ABC có giá trị nhỏ nhất bằng

A. \(3\sqrt 3 {a^3}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{2}\).

C. \(\sqrt 3 {a^3}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632501

Phương pháp giải

Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông, đặt AB = x > 0. Chứng minh \(SD \bot \left( {ABCD} \right)\).

Chứng minh \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Kẻ \(DH \bot SC\), chứng minh \(DH \bot (SBC)\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính SD theo a, x.

Tính \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SD.{S_{\Delta ABC}}\) theo a, x.

Sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 khoảng cho trước.

Giải chi tiết

Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông, đặt AB = x > 0.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SA\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SD\\\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SC\\BC \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\\ \Rightarrow SD \bot \left( {ABCD} \right)\end{array}\)

Ta có AD // BC => AD // (SBC) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Kẻ \(DH \bot SC \Rightarrow DH \bot (SBC)\) và \( \Rightarrow d(A;(SBC)) = d(D;(SBC)) = DH = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông SCD có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{S{D^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}} = \dfrac{1}{{D{H^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{S{D^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{S{D^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 2{a^2}}}{{2{a^2}{x^2}}}\\ \Rightarrow SD = \dfrac{{ax\sqrt 2 }}{{\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}\end{array}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SD.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ax\sqrt 2 }}{{\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}.\dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}\).

Xét hàm số\(f(x) = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}\,\,\,\left( {x > a\sqrt 2 } \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} - {x^3}.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}}}{{{x^2} - 2{a^2}}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}\left( {{x^2} - 2{a^2}} \right) - {x^4}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 2{a^2}} \right)}^3}} }}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{2{x^4} - 6{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 2{a^2}} \right)}^3}} }}\end{array}\)

Giải \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2{x^4} - 6{a^2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2}\left( {{x^2} - 3{a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \).

Từ đó ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left( {a\sqrt 2 ; + \infty } \right)} f(x) = f\left( {a\sqrt 3 } \right) = 3\sqrt 3 {a^2}\).

Vậy \(\min {V_{S.ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}.3\sqrt 3 {a^2} = \dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.