Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(a\sqrt 2 ,\) \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\). Khi độ dài cạnh AB thay đổi, thể tích khối chóp S.ABC có giá trị nhỏ nhất bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông, đặt AB = x > 0. Chứng minh \(SD \bot \left( {ABCD} \right)\).
Chứng minh \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Kẻ \(DH \bot SC\), chứng minh \(DH \bot (SBC)\).
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính SD theo a, x.
Tính \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SD.{S_{\Delta ABC}}\) theo a, x.
Sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 khoảng cho trước.
Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông, đặt AB = x > 0.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SA\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SD\\\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SC\\BC \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\\ \Rightarrow SD \bot \left( {ABCD} \right)\end{array}\)
Ta có AD // BC => AD // (SBC) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Kẻ \(DH \bot SC \Rightarrow DH \bot (SBC)\) và \( \Rightarrow d(A;(SBC)) = d(D;(SBC)) = DH = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông SCD có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{S{D^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}} = \dfrac{1}{{D{H^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{S{D^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{S{D^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 2{a^2}}}{{2{a^2}{x^2}}}\\ \Rightarrow SD = \dfrac{{ax\sqrt 2 }}{{\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}\end{array}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SD.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ax\sqrt 2 }}{{\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}.\dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}\).
Xét hàm số\(f(x) = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}\,\,\,\left( {x > a\sqrt 2 } \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} - {x^3}.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 2{a^2}} }}}}{{{x^2} - 2{a^2}}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}\left( {{x^2} - 2{a^2}} \right) - {x^4}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 2{a^2}} \right)}^3}} }}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{2{x^4} - 6{a^2}{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 2{a^2}} \right)}^3}} }}\end{array}\)
Giải \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2{x^4} - 6{a^2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2}\left( {{x^2} - 3{a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \).
Từ đó ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left( {a\sqrt 2 ; + \infty } \right)} f(x) = f\left( {a\sqrt 3 } \right) = 3\sqrt 3 {a^2}\).
Vậy \(\min {V_{S.ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{6}.3\sqrt 3 {a^2} = \dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{2}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
