Cho hàm số \(f(x) = {2^x} - {2^{ - x}} + 2023{x^3}\). Biết rằng tồn tại số thực m sao cho bất phương

Câu hỏi số 632500:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x) = {2^x} - {2^{ - x}} + 2023{x^3}\). Biết rằng tồn tại số thực m sao cho bất phương trình \(f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) + f\left( {(x - m - 37){2^x}} \right) \ge 0\) có nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Hỏi m thuộc khoảng nào dưới đây

A. \((50;70)\).

B. \(( - 10;10)\).

C. \((30;50)\).

D. \((10;30)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632500

Phương pháp giải

Chứng minh f(x) là hàm số lẻ.

Sử dụng phương pháp xét hàm số đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) + f\left( {(x - m - 37){2^x}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) \ge - f\left( {(x - m - 37){2^x}} \right).\end{array}\)

Ta thấy rằng \(f(x) = {2^x} - {2^{ - x}} + 2023{x^3}\) có:

+) Tập xác định là \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow - x \in \mathbb{R}\).

+) \(f\left( { - x} \right) = {2^{ - x}} + {2^x} - 2023{x^3} = - f\left( x \right)\).

Suy ra\(f(x)\) là hàm lẻ, khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) \ge - f\left( {(x - m - 37){2^x}} \right)\\ \Leftrightarrow f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) \ge f\left( { - (x - m - 37){2^x}} \right).\end{array}\)

Mặc khác \(f(x) = {2^x} - {2^{ - x}} + 2023{x^3}\) đồng biến trên \(( - \infty ; + \infty )\) nên:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) \ge f\left( { - (x - m - 37){2^x}} \right)\\ \Leftrightarrow {4^x} - mx + 37m \ge - (x - m - 37){2^x}\\ \Leftrightarrow {4^x} - mx + 37m \ge - {2^x}x + {2^x}m + {37.2^x}\\ \Leftrightarrow - mx + 37m - {2^x}m + {4^x} + {2^x}x - {37.2^x} \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( { - x + 37 - {2^x}} \right) - {2^x}\left( { - x + 37 - {2^x}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - {2^x}} \right)\left( { - x + 37 - {2^x}} \right) \ge 0\end{array}\)

Xét hàm số \(h(x) = - x + 37 - {2^x}\), ta có \(h'(x) = - 1 - {2^x}\ln 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

=> Hàm số \(h(x)\) nghịch biến trên \(( - \infty ; + \infty )\).

=> Phương trình \(h(x) = 0\) có tối đa một nghiệm.

Mà \(h(5) = 0\) nên \(x = 5\) là nghiệm duy nhất của phương trình h(x) = 0.

Để \(\left( {m - {2^x}} \right)\left( { - x + 37 - {2^x}} \right) \ge 0\) có nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì phương trình \(m - {2^x} = 0\) có nghiệm \(x = 5 \Leftrightarrow m = 32\).

Thử lại ta thấy \(m = 32\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.