Có bao nhiêu cặp số (x; y) với x, y là các số nguyên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

Câu hỏi số 632502:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số (x; y) với x, y là các số nguyên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: \({4.2^{{y^4} - 2{y^2}}} - 2{\log _2}(2x) + x = 0\) và \(2{\log _2}(x + y) - x - y \ge 0\) ?

A. 6 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 9 .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632502

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{4.2^{{y^4} - 2{y^2}}} - 2{\log _2}(2x) + x = 0\\2{\log _2}(x + y) - x - y \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2.2^{{y^4} - 2{y^2} + 1}} - 2\left( {1 + {{\log }_2}x} \right) + x = 0\\2{\log _2}(x + y) - \left( {x + y} \right) \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2.2^{{{\left( {{y^2} - 1} \right)}^2}}} = 2{\log _2}x - x + 2\\2{\log _2}(x + y) - \left( {x + y} \right) \ge 0\end{array} \right.\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 1 \right)}\\{\left( 2 \right)}\end{array}\end{array}\)

Giải (2):

Xét đồ thị 2 hàm số \(y = 2{\log _2}x\) và \(y = x\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

Từ đó suy ra tập nghiệm chủa bất phương trình \(2{\log _2}x - x \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 4\).

Do đó \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2 \le x + y \le 4\,\,\left( * \right)\)

Giải (1): \({2.2^{{{\left( {{y^2} - 1} \right)}^2}}} = 2{\log _2}x - x + 2\)

Do \(VT \ge {2.2^0} = 2\) nên điều kiện có nghiệm của phương trình (1) là:

\(2{\log _2}x - x + 2 \ge 2 \Leftrightarrow 2{\log _2}x - x \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 4\).

Do \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;4} \right\}.\)

Với \(x = 2\) ta có: \({2.2^{{{\left( {{y^2} - 1} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {{y^2} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = \pm 1\).

Với \(x = 3\) ta có: \(VP = 2{\log _2}3 - 1 \notin \mathbb{Z}\) => Không thoả mãn.

Với \(x = 4\) ta có: \({2.2^{{{\left( {{y^2} - 1} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {{y^2} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = \pm 1\)

Kết hợp với điều kiện (*), ta có 2 cặp số nguyên thoả mãn là \((2;1)\) và \((4; - 1)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.