Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Số đo của góc giữa hai mặt phẳng

Câu hỏi số 632610:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Số đo của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BA'C} \right)\) và \(\left( {DA'C} \right)\) là?

A. \({90^0}\).

B. \({60^0}\).

C. \({30^0}\).

D. \({45^0}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632610

Giải chi tiết

Trong \(\left( {BA'C} \right)\) kẻ \(BH \bot A'C\,\,\,\left( {H \in A'C} \right)\)

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BA'C} \right)\) và \(\left( {DA'C} \right)\):

+ \(\left( {BA'C} \right) \cap \left( {DA'C} \right) = A'C\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BD \bot A'C\). Mà \(A'C \bot BH \Rightarrow A'C \bot \left( {BDH} \right) \Rightarrow A'C \bot DH\)

+ \(BH \subset \left( {BA'C} \right)\,;\,\,BH \bot A'C\)

+ \(DH \subset \left( {DA'C} \right)\,;\,\,DH \bot A'C\)

\( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {BA'C} \right);\left( {DA'C} \right)} \right] = \angle \left( {BH;DH} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow BC \bot A'B\)

\( \Rightarrow \Delta BA'C\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow BH = \dfrac{{A'B.BC}}{{\sqrt {A'{B^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Tương tự ta có: \(CD \bot \left( {ADD'A'} \right) \Rightarrow \Delta DA'C\) vuông tại \(D\)

\( \Rightarrow DH = \dfrac{{A'D.DC}}{{\sqrt {A'{D^2} + D{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} }}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Áp dụng định lý cosin trong \(\Delta BHD\) có:

\(\cos BHD = \dfrac{{B{H^2} + D{H^2} - B{D^2}}}{{2BH.DH}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}}} = - \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \cos \left[ {\left( {BA'C} \right);\left( {DA'C} \right)} \right] = \cos \left( {BH;DH} \right) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle \left[ {\left( {BA'C} \right);\left( {DA'C} \right)} \right] = {60^0}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.