Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết

Câu hỏi số 633554:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết rằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng \(a\sqrt 3 \), tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. \(V = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

B. \(V = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).

C. \(V = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(V = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633554

Phương pháp giải

Chứng minh \(AD//\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Kẻ \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\). Chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB tính SA.

Tính thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//BC}\\{BC \subset (SBC)}\end{array} \Rightarrow AD//(SBC)} \right.\).

\( \Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AH = a\sqrt 3 \).

Trong (SAB) kẻ \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a\sqrt 3 \)

Xét tam giác SAB vuông tại A và AH là đường cao, ta có

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{{(a\sqrt 3 )}^2}}} = \dfrac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow SA = 2a\sqrt 3 \).

Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = {(2a)^2} = 4{a^2}\).

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2a\sqrt 3 .4{a^2} = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.