Có bao nhiêu giá trị \(m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = \left| {\dfrac{{2x - m}}{{x + 2}}} \right|\)

Câu hỏi số 633555:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị \(m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = \left| {\dfrac{{2x - m}}{{x + 2}}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([ - 1;5]\) tại điểm \(x = a \in ( - 1;5)\).

A. 7.

B. 12.

C. 11.

D. 5.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633555

Phương pháp giải

Đặt \(f(x) = \dfrac{{2x - m}}{{x + 2}}\), tính \(f'\left( x \right)\) và xét các trường hợp của m.

Giải chi tiết

Xét \(f(x) = \dfrac{{2x - m}}{{x + 2}}\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \), nên hàm số xác định trên \([ - 1;5]\).

Ta có \(f'(x) = \dfrac{{4 + m}}{{{{(x + 2)}^2}}}\).

TH1: \(m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = - 4\) ta có \(f(x) = \dfrac{{2x + 4}}{{x + 2}} = 2\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \).

Khi đó \(g(x) = \left| {f(x)} \right| = 2\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \) nên suy ra hàm số \(g(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 trên \([ - 1;5]\) tại mọi điểm \(x = a \in ( - 1;5)\), do đó \(m = - 4\) thoả mãn ycbt.

TH2: \(m + 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 4\) ta có \(f(x)\) là hàm đơn điệu (hoặc là tăng hoặc là giảm trên các khoảng xác định).

Do đó hàm số \(g(x) = \left| {f(x)} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([ - 1;5]\) tại điểm \(x = a \in ( - 1;5)\) khi và chỉ khi phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm \(a \in ( - 1;5)\).

Lại có \(f(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - m = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{m}{2}\).

\( \Rightarrow - 1 < \dfrac{m}{2} < 5 \Leftrightarrow - 2 < m < 10\).

Do \(m\) nguyên nên \(m \in \{ - 1;0;1; \ldots ;8;9\} \).

Kết hợp 2 trường hợp ta suy ra có tất cả 12 giá trị \(m\) thoả mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.