Cho các số dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: + + ≥

Câu hỏi số 6338:

Cho các số dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: $\frac{ab}{c+ab}$ + $\frac{bc}{a+bc}$ + $\frac{ca}{b+ca}$ ≥ $\frac{3}{4}$

A. $\frac{ab}{c+ab}$ + $\frac{bc}{a+bc}$ + $\frac{ca}{b+ca}$ ≥ $\frac{3}{4}$ khi a = b = c

B. $\frac{ab}{c+ab}$ + $\frac{bc}{a+bc}$ + $\frac{ca}{b+ca}$ ≥ $\frac{3}{4}$ khi a ≠ b =c

C. $\frac{ab}{c+ab}$ + $\frac{bc}{a+bc}$ + $\frac{ca}{b+ca}$ ≥ $\frac{3}{4}$ khi a ≠ b ≠c

D. $\frac{ab}{c+ab}$ + $\frac{bc}{a+bc}$ + $\frac{ca}{b+ca}$ ≥ $\frac{3}{4}$ khi a = b ≠ c

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:6338

Giải chi tiết

Ta có c + ab = c( a + b + c) + ab = ( b + c)(a + c)

Tương tự cũng có: a + bc = ( a + b)( a + c), b + ac = ( b + a)( b + c). Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:

$\frac{ab}{(b+c)(a+c)}$ + $\frac{bc}{(a+b)(a+c)}$ = $\frac{ca}{(b+c)(a+b)}$ ≥ $\frac{3}{4}$

⇔ $\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ ≥ $\frac{3}{4}$ ⇔ $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ ≥ $\frac{3}{4}$

⇔ 1 - $\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ ≥ $\frac{3}{4}$ ⇔ $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ ≤ $\frac{1}{8}$

Mặt khác theo BĐT Cô si ta có:

a + b ≥ 2 $\sqrt{ab}$ , b + c ≥ 2 $\sqrt{bc}$ , c + a ≥ 2 $\sqrt{ca}$

Từ đó suy ra BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.