Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-2;4), B(-3;3;-1), C(-1;-;1-;1) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y

Câu hỏi số 634442:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-2;4), B(-3;3;-1), C(-1;-;1-;1) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 8 = 0\). Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = 2M{A^2} + M{B^2} - M{C^2}\).

A. 102.

B. 35.

C. 105.

D. 30.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634442

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \vec 0\). Tìm tọa độ của \(I = \dfrac{{2A + B - C}}{{2 + 1 - 1}}\).

- Biểu diễn \(T = 2M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\), chèn điểm I và biểu diễn theo MI.

- Biện luận T nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất => M là hình chiếu của I lên (P).

Giải chi tiết

Gọi \(I\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \vec 0 \Rightarrow I = \dfrac{{2A + B - C}}{{2 + 1 - 1}} = \left( {1;0;4} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = 2M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\\ = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 4M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right) + 2I{A^2} + I{B^2} - I{C^2}\\ = 2M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} = 2M{I^2} + 30\end{array}\)

Để T nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Khi đó \(MI = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 + 8 + 8} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \dfrac{{18}}{3} = 6\).

Khi đó \({T_{\min }} = 2M{I^2} + 30 = 2.36 + 30 = 102\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.