Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 1 + i} \right| = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P

Câu hỏi số 634441:

Vận dụng cao

Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 1 + i} \right| = 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left| {z + 2 - i} \right|^2} + {\left| {z - 2 - 3i} \right|^2}\).

A. \(38 + 8\sqrt {10} \).

B. \(38 + 10\sqrt {10} \).

C. \(38 + 6\sqrt {10} \).

D. \(38 + 4\sqrt {10} \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634441

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R}\).

- Tìm liên hệ giữa x, y.

- Sử dụng BĐT Bunyakovski: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z - 1 + i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y + 1} \right)i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x + 2y = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2 + 2x - 2y\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}P = {\left| {z + 2 - i} \right|^2} + {\left| {z - 2 - 3i} \right|^2}\\ = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\\ = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 8y + 18\\ = 2\left( {2 + 2x - 2y} \right) - 8y + 18\\ = 4x - 12y + 22\\ = 4\left( {x - 1} \right) - 12\left( {y + 1} \right) + 38\\ \le \sqrt {\left( {{4^2} + {{12}^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]} + 38\\ = 8\sqrt {10} + 38\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.