Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Góc

Câu hỏi số 635196:

Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng \({60^0},\) \(BC = a\sqrt 3 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

A. \(\dfrac{{3a}}{2}\).

B. \(\dfrac{{6\sqrt {13} a}}{{13}}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\dfrac{{6\sqrt 5 a}}{5}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635196

Phương pháp giải

Chứng minh \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

Xác định góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Chứng minh \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//(SCD)}\\{SC \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD))} \right.\).

Dựng \(AH \bot SD\), chứng minh \(AH \bot \left( {SCD} \right)\). Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính AH.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SD \subset \left( {SCD} \right),\,\,SD \bot CD\\AD \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AD \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SD,AD} \right) = \angle SDA = {60^0}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//(SCD)}\\{SC \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD))} \right.\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên SD. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SD\\AH \bot CD\,\,\left( {do\,\,CD \bot \left( {SAD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\)

\( \Rightarrow d(A,(SCD)) = AH = AD\sin \angle SDA = a\sqrt 3 .\sin {60^0} = \dfrac{{3a}}{2}\).

Vậy \(d(AB,SC) = \dfrac{{3a}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.