Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2, \(\angle ASB = {90^0},\) \(\angle BSC = {60^0},\) \(\angle CSA = {120^0}\).
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2, \(\angle ASB = {90^0},\) \(\angle BSC = {60^0},\) \(\angle CSA = {120^0}\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Tính AB, BC, AC. Sử dụng định lí Pytago đảo chứng minh \(\Delta ABC\) vuông tại B.
Gọi H là trung điểm của cạnh AC suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường trung trực của SC cắt đường thẳng SH tại I. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Sử dụng định lí Pytago tính SH.
Sử dụng \(\Delta SHC\~\Delta SMI\) tính bán kính mặt cầu R = SI.
Diện tích mặt cầu bán kính R là \(S = 4\pi {R^2}\).
Xét tam giác SBC có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB = SC = 2\\\angle BSC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SBC\) đều \( \Rightarrow BC = 2\).
Xét tam giác SAB có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA = SB = 2\\\angle ASB = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại \(S \Rightarrow AB = 2\sqrt 2 \).
Xét tam giác SAC có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA = SC = 2\\\angle ASC = {120^0}\end{array} \right.\), áp dụng định lí cosin cho tam giác SAC ta được:
\(A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2SA.SC.\cos \angle ASC = 12 \Leftrightarrow AC = 2\sqrt 3 \).
Xét tam giác ABC có: \(B{C^2} + A{B^2} = {2^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 12 = A{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B.
Gọi H là trung điểm của cạnh AC suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà \(SA = SB = SC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow SH \bot (ABC)\).
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường trung trực của SC cắt đường thẳng SH tại I.
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Xét tam giác vuông SAH vuông tại H có \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 1\).
Ta có \(\Delta SHC\~\Delta SMI\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SC}} = \dfrac{{SM}}{{SH}} \Leftrightarrow SI = \dfrac{{SM.SC}}{{SH}} = \dfrac{{1.2}}{1} = 2\).
=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là R = SI = 2.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp là. \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.2^2} = 16\pi \).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
