Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết SA vuông góc với đáy, AB = BC =

Câu hỏi số 635208:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết SA vuông góc với đáy, AB = BC = 2a, AD = 4a; góc giữa (SCD) và đáy bằng \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. \(\dfrac{{8\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).

B. \(\dfrac{{4\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).

C. \(\dfrac{{8\sqrt 6 {a^3}}}{{15}}\).

D. \(4\sqrt 6 {a^3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635208

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và đáy là góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Chứng minh \(\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SCA\).

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SA.

Tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AD.

Dễ thấy ABCM là hình vuông \( \Rightarrow CM = AB = a = \dfrac{{AD}}{2}\).

=> Tam giác ACD vuông tại C (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\\DC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot (SAC) \Rightarrow DC \bot SC\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SC \subset \left( {SCD} \right),\,\,SC \bot CD\,\,\left( {cmt} \right)\\AC \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AC \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \angle SCA = {60^0}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2\sqrt 2 a\).

Xét tam giác vuông SAC có: \(SA = AC.\tan {60^0} = 2\sqrt 2 a.\sqrt 3 = 2\sqrt 6 a.\)

\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AB.\left( {BC + AD} \right) = \dfrac{1}{2}.2a\left( {2a + 4a} \right) = 6{a^2}.\)

Vậy thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt 6 a.6{a^2} = 4\sqrt 6 {a^3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.