Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) và mặt phẳng \(\left( \alpha

Câu hỏi số 635739:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z + 7 = 0\). Điểm M chạy tùy ý trên \(\left( \alpha \right)\). Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(m \in \left( {28;47} \right)\).

B. \(m \in \left( {24;28} \right)\).

C. \(m \in \left( {10;20} \right)\).

D. \(m \in \left( {20;24} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635739

Phương pháp giải

Tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Biến đổi \(\left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\) theo điểm I.

\({\left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|_{\min }} = M{I_{\min }} = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( \alpha \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {1 - a} \right) + 5\left( { - 1 - a} \right) - 7\left( {3 - a} \right) = 0\\3\left( {1 - b} \right) + 5\left( {2 - b} \right) - 7\left( { - 1 - b} \right) = 0\\3\left( {1 - c} \right) + 5\left( {0 - c} \right) - 7\left( {2 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 23\\b = 20\\c = - 11\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( { - 23;20; - 11} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|\\ = \left| {3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {MI} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {MI} - 7\overrightarrow {IC} } \right|\\ = \left| {\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} - 7\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\end{array}\).

\({\left| {3\overrightarrow {MA} + 5\overrightarrow {MB} - 7\overrightarrow {MC} } \right|_{\min }} = M{I_{\min }} = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 23} \right) - 20 + 2.\left( { - 11} \right) + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 27\)

Khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( \alpha \right)\).

Vậy \(m = 27 \in \)\(\left( {24;28} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.