Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) =

Câu hỏi số 635738:

Vận dụng cao

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} + {x^3} - 5{x^2} - x + m} \right|\) có 4 điểm cực tiểu \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3},\,\,{x_4}\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 + 1} \right)\left( {x_2^2 + 1} \right)\left( {x_3^2 + 1} \right)\left( {x_4^2 + 1} \right) \ge 68\). Tập S có bao nhiêu tập con?

A. 16.

B. 4.

C. 8.

D. 32.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635738

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(h\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 5{x^2} - x + m\), từ đó đánh giá cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} + {x^3} - 5{x^2} - x + m} \right|\).

Giải chi tiết

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 5{x^2} - x + m \Rightarrow h'\left( x \right) = 4{x^3} + 2{x^2} - 10x - 1\).

Giải \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 2{x^2} - 10x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx - 1,96\\x \approx - 0,1\\x \approx 1,31\end{array} \right.\).

Ta có bảng sau:

Hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} + {x^3} - 5{x^2} - x + m} \right|\) có 4 điểm cực tiểu \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3},\,\,{x_4}\)

=> Phương trình \({x^4} + {x^3} - 5{x^2} - x + m = 0\) có 4 nghiệm thực phân biệt \( \Rightarrow 1 \le m \le 4\). (1)

Khi đó: \(h\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 5{x^2} - x + m = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right),\forall x\).

Xét trên tập số phức :

\(\left\{ \begin{array}{l}h\left( i \right) = \left( {i - {x_1}} \right)\left( {i - {x_2}} \right)\left( {i - {x_3}} \right)\left( {i - {x_4}} \right) = 6 - 2i + m\\h\left( { - i} \right) = \left( { - i - {x_1}} \right)\left( { - i - {x_2}} \right)\left( { - i - {x_3}} \right)\left( { - i - {x_4}} \right) = 6 + 2i + m\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {x_1^2 + 1} \right)\left( {x_2^2 + 1} \right)\left( {x_3^2 + 1} \right)\left( {x_4^2 + 1} \right) = {\left( {6 + m} \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2}\).

\( \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + 1} \right)\left( {x_2^2 + 1} \right)\left( {x_3^2 + 1} \right)\left( {x_4^2 + 1} \right) = {m^2} + 12m + 40\).

Theo đề bài ta có: \({m^2} + 12m + 40 \ge 68 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 14\\m \ge 2\end{array} \right.\) (2)

Kết hợp (1), (2) và \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\} = S \Rightarrow S\) có \({2^3} = 8\) tập con.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.