Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) khác \({\rm{C}}\) sao cho \(AM >

Câu hỏi số 635784:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) khác \({\rm{C}}\) sao cho \(AM > MC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MC\), đường tròn này cắt \(BC\) tại \(E\) \(\left( {E \ne C} \right)\) và cắt đường thẳng \(BM\) tại \(D\left( {D \ne M} \right)\).

a) Chứng minh \(ADCB\) là một tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(\widehat {ABM} = \widehat {AEM}\) và \(EM\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AED}\)

c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(ED\) và \(AC\). Chứng minh rằng \(CG.MA = CA.GM\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635784

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) ADCB là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\widehat {MDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\( \Rightarrow \widehat {MDC} = {90^ \circ }\) hay \(\widehat {BDC} = {90^ \circ }\)

Xét tứ giác \(ADCB\) có \(\angle BAC = \angle BDC = {90^ \circ }\) mà \(A,D\) là 2 đỉnh kề nhau

Nên \(ADCB\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(\widehat {ABM} = \widehat {AEM}\) và \(EM\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AED}\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\widehat {MEC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\( \Rightarrow \widehat {MEC} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {BEM} = {90^ \circ }\) (hai góc kề bù)

Xét tứ giác \(ABEM\) ta có: \(\widehat {BAM} + \widehat {BEM} = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ } \Rightarrow ABEM\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {AEM}\) (cùng chắn cung \(AM\) )

Ta có: \(\widehat {MED} = \widehat {MCD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn của \(\left( {\rm{O}} \right))\left( 1 \right)\)

Vi \(ADCB\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {ABD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn )

Lai có \(\widehat {ABM} = \widehat {AEM}\left( {cmt} \right)\) hay \(\widehat {ABD} = \widehat {AEM}\)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {MED} \Rightarrow ME\) là phân giác của \(\widehat {AED}\left( {dfcm} \right)\)

c) Chứng minh rằng \(CG.MA = CA.GM\)

Xét ta có: \(EM\) là phân giác trong của tam giác \(\left( {{\rm{cmt}}} \right) \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{EG}} = \dfrac{{AM}}{{MG}}\) (tính chất đường phân giác) \( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{EG}} = \dfrac{{AM}}{{MG}}\) (tính chất đường phân giác)

Lại có : \(ME \bot EC\left( {cmt} \right) \Rightarrow EC\) là đường phân giác ngoài tại đỉnh \({\rm{E}}\) của

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{EG}} = \dfrac{{AC}}{{CG}}\) (tính chất đường phân giác)

\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MG}} = \dfrac{{AC}}{{CG}}\left( { = \dfrac{{AG}}{{EG}}} \right) \Rightarrow AM \cdot CG = AC \cdot MG\left( {dpcm} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link