Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} - x + c = 0\) ( \(x\) là ẩn số) có hai nghiệm thực dương

Câu hỏi số 635785:

Vận dụng cao

Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} - x + c = 0\) ( \(x\) là ẩn số) có hai nghiệm thực dương \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} \le 1\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^2} - c}}{{ac + {a^2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635785

Phương pháp giải

Áp dụng định lí vi et và bđt cauchy.

Giải chi tiết

Phương trình \(a{x^2} - x + c = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{{\rm{\Delta }} > 0}\\{ - \dfrac{b}{a} > 0}\\{\dfrac{c}{a} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{1 - 4ac > 0}\\{\dfrac{1}{a} > 0}\\{\dfrac{c}{a} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ac > \dfrac{1}{4}}\\{a > 0}\\{c > 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Áp dụng hệ thức Vi - et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{1}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài ta có: \({x_1} + {x_2} \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{a} \le 1 \Leftrightarrow a \ge 1(\) do \(a > 0) \Rightarrow {a^2} \ge 1\) Lại có: \(ac \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow c \le \dfrac{1}{{4a}} \le \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow P = \dfrac{{{a^2} - c}}{{ac + {a^2}}} \ge \dfrac{{{a^2} - \dfrac{1}{4}}}{{\dfrac{1}{4} + {a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}}}{{{a^2} + \dfrac{1}{4}}} = 1 - \dfrac{1}{{2\left( {{a^2} + \dfrac{1}{4}} \right)}} \ge 1 - \dfrac{1}{{2\left( {1 + \dfrac{1}{4}} \right)}} = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\)

Dấu "= "xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{ac = \dfrac{1}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{c = \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \({\rm{Min}}P = \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{c = \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link