Cho biểu thức \(A = \dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2} + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\dfrac{{x -

Câu hỏi số 636523:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2} + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right)\) với \(x > 0,x \ne 1\).

1. Rút gọn biểu thức \(A\).

2. Chứng minh rằng \(A > 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:636523

Phương pháp giải

1. Rút gọn từng phân thức

2. Chứng minh \(A - 1 > 0\) với mọi x

Giải chi tiết

1. Rút gọn biểu thức \(A\).

Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2} + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2} + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2} + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\sqrt x + 1 - \sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2} + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}:\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Vậy với \(x > 0,x \ne 1\) thì \(A = \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)

2. Chứng minh rằng \(A > 1\).

\(A = \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} > 0\) (đúng với mọi \(x > 0,x \ne 1\))

Vậy \(A > 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link