1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {4{x^2} + 3} - 2\sqrt y = \sqrt

Câu hỏi số 636259:

Vận dụng cao

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {4{x^2} + 3} - 2\sqrt y = \sqrt {{y^2} + 3} - 2\sqrt {2x} }\\{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {y + 3 - {x^2}} }\end{array}} \right.\).

2) Xét hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(6x + y = 2xy\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = 3x + \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{{42}}{y} + {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:636259

Phương pháp giải

1) Từ (1) tìm \(y = 2x\) thay vào (2) và giải phương trình bằng cách đặt 2 ẩn a, b

2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Giải chi tiết

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {4{x^2} + 3} - 2\sqrt y = \sqrt {{y^2} + 3} - 2\sqrt {2x} }\\{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {y + 3 - {x^2}} }\end{array}} \right.\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {4{x^2} + 3} - 2\sqrt y = \sqrt {{y^2} + 3} - 2\sqrt {2x} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {y + 3 - {x^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\) (ĐKXĐ: \(0 \le x \le 3,y \ge 0\))

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + 3} - 2\sqrt y = \sqrt {{y^2} + 3} - 2\sqrt {2x} \\ \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + 3} - \sqrt {{y^2} + 3} = 2\sqrt y - 2\sqrt {2x} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{x^2} + 3 - {y^2} - 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 3} + \sqrt {{y^2} + 3} }} = \dfrac{{4y - 8x}}{{2\sqrt y + 2\sqrt {2x} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 3} + \sqrt {{y^2} + 3} }} = \dfrac{{4\left( {y - 2x} \right)}}{{2\sqrt y + 2\sqrt {2x} }}\\ \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)\left[ {\dfrac{{2x + y}}{{\sqrt {4{x^2} + 3} + \sqrt {{y^2} + 3} }} + \dfrac{4}{{2\sqrt y + 2\sqrt {2x} }}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = y\\\dfrac{{2x + y}}{{\sqrt {4{x^2} + 3} + \sqrt {{y^2} + 3} }} = - \dfrac{4}{{2\sqrt y + 2\sqrt {2x} }}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x \ge 0,y \ge 0\) thì \(VT* \ge 0,VP* < 0\) nên phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy (1) \( \Leftrightarrow y = 2x\). Thay vào (2) ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} = 2 + \sqrt {2x + 3 - {x^2}} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {x + 1} \\b = \sqrt {3 - x} \end{array} \right.\,\,\left( {a \ge 0,b \ge 0} \right) \Rightarrow ab = \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 - x} = \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} \).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2 + \sqrt {ab} \,\,\,\,\left( 3 \right)\\{a^2} + {b^2} = 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = 4 + ab + 4\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow 4 + 2ab = 4 + ab + 4\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow ab - 4\sqrt {ab} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {ab} \left( {\sqrt {ab} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {ab} = 0 \Rightarrow ab = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\,\left( {TM} \right)\\\sqrt {ab} = 4 \Rightarrow ab = 16 \Leftrightarrow \sqrt {2x + 3 - {x^2}} = 16 \Leftrightarrow 2x + 3 - {x^2} = {16^2}\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với x = 1 thì y = 2.

Với x = 3 thì y = 6

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1;2) hoặc (3;6).

2) Xét hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(6x + y = 2xy\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = 3x + \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{{42}}{y} + {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^2}\)

Ta có: \(6x + y = 2xy \Rightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{y} = 2\)

Lại có: \(2xy = 6x + y \ge 2\sqrt {6xy} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow xy \ge \sqrt {6xy} \Leftrightarrow \sqrt {xy} \left( {\sqrt {xy} - \sqrt 6 } \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {xy} - \sqrt 6 \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge 6\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = 3x + \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{{42}}{y} + {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 3x + \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{{42}}{y} + x + y + 2\sqrt {xy} \\\,\,\,\,\, = \left( {2x + 2x + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right) + \left( {y + \dfrac{{36}}{y}} \right) + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{y}} \right) + 2\sqrt {xy} \\\,\,\,\,\, \ge 3\sqrt[3]{{2x.2x.\dfrac{2}{{{x^2}}}}} + 2\sqrt {y.\dfrac{{36}}{y}} + 2 + 2\sqrt 6 \\\,\,\,\,\, = 3.2 + 2.6 + 2 + 2\sqrt 6 = 20 + 2\sqrt 6 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x = \dfrac{2}{{{x^2}}}\\y = \dfrac{{36}}{y}\\y = 6x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 1\\{y^2} = 36\\y = 6x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 6\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(20 + 2\sqrt 6 \) khi \(x = 1\) và\(y = 6.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link