Cho\(a,\,b,\,c\)là ba số thực dương thỏa mãn \(abc = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 636526:

Vận dụng cao

Cho\(a,\,b,\,c\)là ba số thực dương thỏa mãn \(abc = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 5}}{{ab + bc + ca + 1}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:636526

Phương pháp giải

Ta đi chứng minh \(P \ge 2\) hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(ab + bc + ca)\) và \(2ab + 2 + 2c \ge 2(ab + bc + ca)\)

Giải chi tiết

Ta cần chứng minh \(P \ge 2\) hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(ab + bc + ca)\)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số \(a,\,\,b,\,c\) luôn tồn tại 2 số cùng phía với 1 (tức là cùng \( \ge 1\) hoặc \( \le 1\))

Không mất tổng quát, giả sử là hai số đó là a và b khi đó: \((a - 1)(b - 1) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow ab + 1 \ge a + b\)

\( \Rightarrow abc + c \ge ac + bc\)

\( \Rightarrow 1 + c \ge ac + bc\) (do \(abc = 1\))

\( \Rightarrow 2ab + 2 + 2c \ge 2(ab + bc + ca)\)

Ta chứng minh: \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2ab + 2 + 2c\)

Thật vậy ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2ab + 2 + 2c\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} - 2ab} \right) + \left( {{c^2} - 2c + 1} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(ab + bc + ca)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\c - 1 = 0\\abc = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\c = 1\\abc = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\)

Suy ra: \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 5}}{{ab + bc + ca + 1}} \ge 2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng 2 khi \(a = b = c = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link