Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4 = 0\) (m là tham số).1. Giải phương

Câu hỏi số 636525:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4 = 0\) (m là tham số).

1. Giải phương trình khi \(m = 6\).

2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(6{x_1}^2 + 6{x_1}{x_2} = \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1}^3 + {x_2}^3 - 12{x_2}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:636525

Phương pháp giải

1. Thay m = 6 vào phương trình, giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm hoặc phân tích đa thức thành nhân tử

2. Bước 1: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

Bước 2: Biến đổi \(6{x_1}^2 + 6{x_1}{x_2} = \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1}^3 + {x_2}^3 - 12{x_2}} \right)\) và thay từ hệ thức Viet được phương trình ẩn m.

Giải chi tiết

1. Giải phương trình khi \(m = 6\).

Khi \(m = 6\), phương trình trở thành \({x^2} - 14x + 40 = 0\).

Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 40.1 = 9 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = \dfrac{{7 + \sqrt 9 }}{1} = 10}\\{{x_2} = \dfrac{{7 - \sqrt 9 }}{1} = 4}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {10;4} \right\}\)

2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(6{x_1}^2 + 6{x_1}{x_2} = \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1}^3 + {x_2}^3 - 12{x_2}} \right)\).

Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 4} \right) = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 4 = 2m - 3\)

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{2}\).

Áp dụng định lí Vi et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} + 4}\end{array}} \right.\) .

Khi đó để \(6{x_1}^2 + 6{x_1}{x_2} = \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1}^3 + {x_2}^3 - 12{x_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6{x_1}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)\left( {{x_1}^3 + {x_2}^3 - 12{x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow 12{x_1}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^3 + {x_2}^3 - 12{x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow 12{x_1}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 12{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^3 + {x_2}^3} \right)\\ \Leftrightarrow 12{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\left[ {12 - \left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\left\{ {12 - \left[ {{{\left( {{x_1} + x{\,_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]} \right\} = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2}\left\{ {12 - \left[ {4{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 3\left( {{m^2} + 4} \right)} \right]} \right\} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 = 0}\\{12 - \left[ {4{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 3\left( {{m^2} + 4} \right)} \right] = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 1\,\,\,\,\,\,\left( {k\,\,tm} \right)}\\{12 - 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 3{m^2} + 12 = 0\,\,\,\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 8m - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2\left( {tm} \right)}\\{m = - 10\left( {k\,tm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 2\) thoả mãn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link