Cho đường tròn \((O)\) đường kính\(AB.\) Trên đường tròn \((O)\) lấy điểm \(C\) không trùng
Cho đường tròn \((O)\) đường kính\(AB.\) Trên đường tròn \((O)\) lấy điểm \(C\) không trùng với \(B\) sao cho \(CA > CB\). Các tiếp tuyến của đương tròn \((O)\) tại \(A\) và \(C\) cắt nhau tại \(D\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên\(AB,E\)là giao điểm của hai đường thẳng \(OD\) và \(AC.\)
1, Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đường tròn
2, Gọi F là giao điểm của đường thẳng CD và AB. Chứng minh \(2\angle BCF + \angle CFB = {90^0}\)
3) Gọi M là giao điểm của BD và CH. Chứng minh \(\dfrac{{OC}}{{EM}} - \dfrac{{EO}}{{ED}} = 1\)
Quảng cáo
1. Chứng minh tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)
2. Dùng tính chất góc ngoài của \(\Delta BCF\) và \(\Delta BCA\) vuông tại C
3. Chứng minh CA, CB là phân giác trong và phân giác ngoài của \(\angle HCD\)
\( \Rightarrow M\) là trung điểm HC \( \Rightarrow \) tỉ số cần chứng minh
1, Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đường tròn
Do DA, DC là các tiếp tuyến của (O) nên \(DA \bot OA,DC \bot OC\) (tính chất)
Xét tứ giác ADCO có \(\angle DAO + \angle DCO = {180^0}\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên ADCO là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm)
2, Gọi F là giao điểm của đường thẳng CD và AB. Chứng minh \(2\angle BCF + \angle CFB = {90^0}\)
Xét \(\Delta CFB\) có \(\angle BCF + \angle CFB = \angle CBA\) (tính chất góc ngoài)
Mà \(\angle CAO = \angle FCB\) (\( = \dfrac{1}{2}sdCB\))
\( \Rightarrow 2\angle BCF + \angle CFB = \angle CAB + \angle BCF + \angle CFB = \angle CAB + \angle CBA\)
Ta có \(\angle BCA = 90\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle CAB + \angle CBA = {180^0} - \angle BCA = {90^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)
\( \Rightarrow 2\angle BCF + \angle CFB = {90^0}\) (đpcm)
3) Gọi M là giao điểm của BD và CH. Chứng minh \(\dfrac{{OC}}{{EM}} - \dfrac{{EO}}{{ED}} = 1\)
Do \(\Delta ACH\) vuông tại H nên có \(\angle CHA = {90^0} - \angle CAH\)
Do \(\Delta ABC\) vuông tại C nên \(\angle CBA = {90^0} - \angle CAH\)
\( \Rightarrow \angle ACH = \angle CBA\)
Do DA = DC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \Delta DAC\) cân tại D \( \Rightarrow \angle DAC = \angle DCA\) (tính chất)
Mà \(\angle CBA = \angle CAD\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
\( \Rightarrow \angle ACH = \angle CBA = \angle CAD = \angle DCA\)
\( \Rightarrow CA\) là phân giác trong của \(\angle HCD\)
Mà \(CB \bot CA\) tại A nên CB là phân giác ngoài của \(\angle HCD\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{BD}} = \dfrac{{CM}}{{CD}}\) (tính chất đường phân giác)
Do \(CH\parallel AD\left( { \bot AB} \right) \Rightarrow \dfrac{{MH}}{{AD}} = \dfrac{{BM}}{{BD}}\) (định lý Talet)
\( \Rightarrow \dfrac{{MH}}{{AD}} = \dfrac{{CM}}{{CD}}\)
Mà AD = CD nên suy ra MH = MC
\( \Rightarrow \) M là trung điểm của CH
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DA = DC\\OA = OC\end{array} \right. \Rightarrow OD\) là trung trực của AC (tính chất)
\( \Rightarrow \) E là trung điểm của AC
\( \Rightarrow EM\) là đường trung bình của \(\Delta CAH \Rightarrow EM\parallel AB\)
Ta có \(\dfrac{{EM}}{{OC}} = \dfrac{{EM}}{{OB}} = \dfrac{{DE}}{{DO}}\) (định lý Talet)
\( \Rightarrow \dfrac{{OC}}{{EM}} = \dfrac{{OD}}{{DE}} = \dfrac{{OE + DE}}{{DE}} = 1 + \dfrac{{OE}}{{DE}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{OC}}{{EM}} - \dfrac{{OE}}{{DE}} = 1\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
