1. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, biết cạnh BC = 10 cm, góc \(\angle B = {60^0}\) (hình vẽ). Tính cạnh

Câu hỏi số 637127:

Vận dụng

1. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, biết cạnh BC = 10 cm, góc \(\angle B = {60^0}\) (hình vẽ). Tính cạnh AC với \(\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

2. Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD với đường tròn (C nằm giữa M và D, O và A nằm về hai phía đối với CD). Gọi H là giao điểm của MO và AB.

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Chứng minh\(MC.MD = MH.MO\).

c) Kẻ đường kính AI của (O), các dây IC, ID cắt MO tại P và Q. Chúmg minh OP = OQ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637127

Phương pháp giải

1) Tính giá trị lượng giác của góc B

2a) Tổng hai góc đối bằng 180 độ

b) Chứng minh \(MC.MD = MH.MO = M{A^2}\)

c) Qua C kẻ đường thẳng song song với MO, cắt OA tại E, cắt ID tại N. Gọi K là trung điểm của CD

Chứng minh E là trung điểm NC từ đó chứng minh O là trung điểm của PQ.

Giải chi tiết

1. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, biết cạnh BC = 10 cm, góc \(\angle B = {60^0}\) (hình vẽ). Tính cạnh AC với \(\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Do \(\Delta ABC\) vuông tại A \( \Rightarrow \sin \angle ABC = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) (giá trị lượng giác của góc nhọn)

\( \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{AC}}{{10}} \Rightarrow AC = 5\sqrt 3 \)

Vậy \(AC = 5\sqrt 3 \) cm

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

Do MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên \(MB \bot OB,MA \bot OA\) (theo tính chất của tiếp tuyến)

\( \Rightarrow \angle MBO = \angle MAO = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle MBO + \angle MAO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này ở vị trí đối diện của tứ giác MAOB

\( \Rightarrow MAOB\) là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b) Chứng minh\(MC.MD = MH.MO\).

Do MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên \(MB = MA\) (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(OA = OB\) (cùng bằng bán kính)

\( \Rightarrow MO\) là trung trực của AB

\( \Rightarrow MH \bot AB\) và H là trung điểm của AB

Xét \(\Delta MAO\) vuông tại A, đường cao AH

\( \Rightarrow M{A^2} = MH.MO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDA\) có:

\(\angle AMD\) chung

\(\angle MAC = \angle MDA\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

\( \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MDA\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \Leftrightarrow M{A^2} = MC.MD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MC.MD = MH.MO\) (đpcm)

c) Kẻ đường kính AI của (O), các dây IC, ID cắt MO tại P và Q. Chúmg minh OP = OQ.

Qua C kẻ đường thẳng song song với MO, cắt OA tại E, cắt ID tại N

Gọi K là trung điểm của CD \( \Rightarrow OK \bot CD\) (tính chất đường kính vuông góc với dây cung)

Xét tứ giác OKAM có \(\angle OKM = \angle MAO = {90^0}\)

\( \Rightarrow O,K,A,M\) cùng thuộc một đường tròn .

\( \Rightarrow OKAM\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle KAO = \angle OMK\) (góc nội tiếp cùng chắn cung OK)

Mà \(\angle KMO = \angle KCE\) (2 góc đồng vị do \(CN\parallel MO\))

\( \Rightarrow \angle KCE = \angle KAO\)

\( \Rightarrow K,A,C,E\) cùng thuộc một đường tròn (Do C, A cùng nhìn KE dưới 2 góc bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle AEK = \angle ACK\) (góc nội tiếp cùng chắn cung KA)

Mà \(\angle ACD = \angle AID\) góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

\( \Rightarrow \angle AEK = \angle AID \Rightarrow EK\parallel ID\) (2 góc đồng vị bằng nhau)

Mà K là trung điểm của CD nên suy ra EK là đường trung bình của \(\Delta CDN\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của CN\( \Rightarrow EN = EC\)

Ta có \(\dfrac{{OQ}}{{EN}} = \dfrac{{IO}}{{IE}}\) (do \(IO\parallel EN\), talet)

Mà \(\dfrac{{OP}}{{CE}} = \dfrac{{IO}}{{IE}}\) (do \(OP\parallel CE\), talet)

\( \Rightarrow \dfrac{{OP}}{{EC}} = \dfrac{{OQ}}{{EN}}\)

Mà \(EN = EC \Rightarrow OP = OQ\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link