Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc \(\left[ { - 20;20} \right]\) của tham số m để bất phương trình

Câu hỏi số 637332:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc \(\left[ { - 20;20} \right]\) của tham số m để bất phương trình \({4^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} + m \le 0\) có tập nghiệm là một đoạn có độ dài lớn hơn 2?

A. 17.

B. 37.

C. 38.

D. 16.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637332

Phương pháp giải

Phân tích nhân tử: \({4^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} + m = \left( {{2^x} - m} \right)\left( {{2^x} - 1} \right)\).

Chia 4 trường hợp:

TH1: \(m \le 0\)

TH2: \(0 < m < 1\)

TH3: \(m = 1\)

TH4: \(m > 1\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{4^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} + m \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - m{.2^x} - {2^x} + m \le 0\\ \Leftrightarrow {2^x}\left( {{2^x} - m} \right) - \left( {{2^x} - m} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{2^x} - m} \right)\left( {{2^x} - 1} \right) \le 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

TH1: \(m \le 0 \Rightarrow \)\((*) \Leftrightarrow {2^x} - 1 \le 0\,\,\,\left( {do\,\,{2^x} - m > 0,\forall x} \right) \Leftrightarrow x \le 0\).

=> Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;0} \right]\).

\( \Rightarrow \) Loại.

TH2: \(0 < m < 1 \Rightarrow \)\(\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _2}m \le x \le 0\).

=> Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left[ {{{\log }_2}m;0} \right]\).

Để tập nghiệm là 1 đoạn có độ dài lớn hơn 2

\( \Rightarrow 0 - {\log _2}m > 2 \Leftrightarrow {\log _2}m < - 2 \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{1}{4} \Rightarrow m \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)\).

Kết hợp điều kiện 0 < m < 1 ta có \(m \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) Trường hợp này không có m thoả mãn.

TH3: \(m = 1 \Rightarrow \)\((*) \Leftrightarrow {\left( {{2^x} - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow {2^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0\) là nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \) Loại.

TH4: \(m > 1 \Rightarrow \)\((*) \Leftrightarrow 0 \le x \le {\log _2}m\).

=> Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left[ {0;{{\log }_2}m} \right]\).

Để tập nghiệm là 1 đoạn có độ dài lớn hơn 2

\( \Rightarrow {\log _2}m - 0 > 2 \Leftrightarrow {\log _2}m > 2 \Leftrightarrow m > 4\).

Kết hợp điều kiện m > 1 ta có m > 4.

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left( {4;20} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {5;6;...;20} \right\}\).

Vậy có 20 – 5 + 1 = 16 giá trị nguyên m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.