Cho \(x \ge 0,y \ge 0,x + y > 0\) thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2}}} + {2023^{x - y}}.{\log _2}\dfrac{{{x^2} +
Cho \(x \ge 0,y \ge 0,x + y > 0\) thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2}}} + {2023^{x - y}}.{\log _2}\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}} \le {4^{x + y}} + {2023^{x - y}}\). Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Với \(x \ge 0,y \ge 0,x + y > 0\), ta có:
\({2^{{x^2} + {y^2}}} + {2023^{x - y}}.{\log _2}\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}} \le {4^{x + y}} + {2023^{x - y}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} + {2023^{x - y}}.{\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {4^{x + y}} + {2023^{x - y}}.{\log _2}\left( {x + y} \right) + {2023^{x - y}}\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} + {2023^{x - y}}.{\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {2^{2x + 2y}} + {2023^{x - y}}.{\log _2}\left( {2x + 2y} \right)\,\,(1)\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {2^t} + {2023^{x - y}}{\log _2}t\) với t > 0 ta có: \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + {2023^{x - y}}\dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t > 0\)
=> Hàm số f(t) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), với mọi giá trị của \(x - y\).
Do đó: (1) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 2x + 2y \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 2\).
\( \Rightarrow \)Tập hợp các điểm M(x;y) là phần hình tròn tâm I(1;1), bán kính R =\(\sqrt 2 \) và nằm bên trong và trên góc \(\angle xOy\) (không tính điểm O) (do \(x \ge 0,\,\,y \ge 0,\,\,x + y > 0\)) (Phần tô đậm).
Khi đó ta có: \(P = {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5 = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} - 5 = M{A^2} - 5\) (trong đó A(1;3) nằm ngoài hình tròn \(\left( {I;\sqrt 2 } \right)\), do \(IA = 2 > R\)).
Nhận thấy: \(A{M_{\min }} \le MA \le A{M_{\max }}\)
\( \Leftrightarrow 2 - \sqrt 2 \le MA \le \sqrt {10} \).
\( \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} - 5 \le M{A^2} - 5 \le 5\).
\( \Leftrightarrow 1 - 4\sqrt 2 \le M{A^2} - 5 \le 5\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - 4\sqrt 2 \le P \le 5\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{P_{\max }} = 5\\{P_{\min }} = 1 - 4\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\).
Vậy \({P_{\max }} + {P_{\min }} = 5 + 1 - 4\sqrt 2 = 6 - 4\sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
