Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết rằng f(0) = 0 và hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết rằng f(0) = 0 và hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{16}}\left[ {xf''\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]\) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.
Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = \dfrac{{f''\left( x \right) - 40}}{{12}}\) khi quay quanh trục Ox có giá trị nằm tròn khoảng nào sau đây?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Giả sử \(g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) = 0\\g\left( 0 \right) = 0\\g\left( 1 \right) = 0\\g\left( 2 \right) = 6\end{array} \right.\) tìm a, b, c, d và suy ra hàm số y = g(x).
Sử dụng công thức tính đạo hàm một tích, tìm được hàm số f(x). Từ đó tìm được hàm số \(y = \dfrac{{f''\left( x \right) - 40}}{{12}}\).
Thể tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).
Giả sử \(g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Quan sát đồ thị hàm số ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) = 0\\g\left( 0 \right) = 0\\g\left( 1 \right) = 0\\g\left( 2 \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 0\\d = 0\\a + b + c + d = 0\\8a + 4b + 2c + d = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 1\\d = 0\end{array} \right. \Rightarrow g\left( x \right) = {x^3} - x\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{16}}\left[ {xf''\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right] = {x^3} - x\\ \Leftrightarrow xf''\left( x \right) + f'\left( x \right) = 16{x^3} - 16x\end{array}\).
\( \Leftrightarrow {\left( {xf'\left( x \right)} \right)^\prime } = 16{x^3} - 16x\).
\( \Rightarrow xf'\left( x \right) = 4{x^4} - 8{x^2} + C\).
Thay \(x = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow xf'\left( x \right) = 4{x^4} - 8{x^2}\).
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x \Rightarrow f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + D\)
Mà \(f\left( 0 \right) = 0\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow D = 0 \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2}\).
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x \Rightarrow f''\left( x \right) = 12{x^2} - 8\).
* Xét khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2}\), \(y = \dfrac{{f''\left( x \right) - 40}}{{12}} = {x^2} - 4\) khi quay quanh trục \(Ox\):
Giải phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^4} - 4{x^2} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = \pm 2\end{array} \right.\).
Ta có đồ thị hàm số:
Thể tích khối tròn xoay đó là:
\(V = \;\pi \int_{ - 2}^2 {\left| {{{\left( {{x^4} - 4{x^2}} \right)}^2} - {{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}} \right|dx} = \;\pi \int_{ - 2}^2 {\left| {{x^8} - 8{x^6} + 15{x^4} + 8{x^2} - 16} \right|dx} \)
\(\begin{array}{l} = \;\pi \left| {\int_{ - 2}^{ - 1} {\left( {{x^8} - 8{x^6} + 15{x^4} + 8{x^2} - 16} \right)dx} } \right|\\\,\, + \pi \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {{x^8} - 8{x^6} + 15{x^4} + 8{x^2} - 16} \right)dx} } \right|\\\,\, + \pi \left| {\int_1^2 {\left( {{x^8} - 8{x^6} + 15{x^4} + 8{x^2} - 16} \right)dx} } \right|\\ = \pi \left( {\dfrac{{460}}{{63}} + \dfrac{{1432}}{{63}} + \dfrac{{460}}{{63}}} \right) = \dfrac{{112\pi }}{3} \approx 117,3 \in \left( {117;118} \right)\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
