Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;2), B(1;-1;2) và mặt phẳng \(\left( P

Câu hỏi số 637335:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;2), B(1;-1;2) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z - 18 = 0\). Khi điểm M thay đổi trên mặt phẳng (P) lấy điểm N thuộc tia OM sao cho OM.ON = 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(N{A^2} + N{B^2}\).

A. \(16 - 8\sqrt 3 \).

B. \(24 - 8\sqrt 3 \).

C. \(20 - 8\sqrt 3 \).

D. \(8 - 4\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637335

Phương pháp giải

+) Gọi I là trung điểm của AB. Biến đổi \(N{A^2} + N{B^2}\) theo điểm I.

+) Gọi H là hình chiếu của O trên (P), trên tia OH lấy K sao cho \(OH.OK = 36\). Chứng minh \(\Delta OHM\) đồng dạng \(\Delta ONK\) \( \Rightarrow \angle ONK = \angle H = {90^0}\).

N thuộc mặt cầu (S) cố định.

Biện luận N để \(N{A^2} + N{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta có: \(A\left( {3;1;2} \right),B\left( {1; - 1;2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {2;0;2} \right)\\AB = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {0^2}} = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).

\(P = N{A^2} + N{B^2} = {\overrightarrow {NA} ^2} + {\overrightarrow {NB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 2N{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 2\overrightarrow {NI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) = 2N{I^2} + 4\)

\({P_{\min }} \Leftrightarrow N{I_{\min }}\).

Gọi H là hình chiếu của O trên (P), ta được \(H\left( {3;3;6} \right),OH = 3\sqrt 6 \).

Trên tia OH lấy K sao cho \(OH.OK = 36 \Rightarrow OK = 2\sqrt 6 \) và \(\overrightarrow {OK} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {OH} \Rightarrow K\left( {2;2;4} \right)\).

Khi đó: \(OH.OK = OM.ON \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{ON}} = \dfrac{{OM}}{{OK}} \Rightarrow \Delta OHM\) đồng dạng \(\Delta ONK \Rightarrow \widehat {ONK} = \widehat H = {90^0} \Rightarrow N\) thuộc mặt cầu đường kính OK cố định.

Gọi J là trung điểm của OK \( \Rightarrow J\left( {1;1;2} \right) \Rightarrow N\) thuộc mặt cầu (S) tâm J, bán kính \(R = \dfrac{{OK}}{2} = \sqrt 6 \).

Ta có: \(IJ = \sqrt 2 < R = \sqrt 6 \Rightarrow I\) nằm trong mặt cầu (S).

Khi đó: \(N{I_{\min }} = R - IJ = \sqrt 6 - \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 2{\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)^2} + 4 = 20 - 8\sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.