Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \left( {x - a} \right)\left( {x - b}

Câu hỏi số 637337:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\) với a, b là hai hằng số và a < b, biết rằng f(b) = 0 và hàm số \(g\left( x \right) = \left| {4{x^3} + \left( {2 - 3f\left( a \right)} \right){x^2} - 2f\left( a \right).x + m} \right|\) (với m là tham số). Khi đó hàm số \(g\left[ {f\left( x \right)} \right]\) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

A. 17.

B. 11.

C. 13.

D. 15.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637337

Phương pháp giải

Sử dụng tương giao đồ thị.

Giải chi tiết

Ta có bảng biến thiên sau:

Xét \(h\left( x \right) = 4{x^3} + \left( {2 - 3f\left( a \right)} \right){x^2} - 2f\left( a \right).x + m\) có:

\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = 12{x^2} + 2\left( {2 - 3f\left( a \right)} \right)x - 2f\left( a \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12{x^2} + 4x - 6f\left( a \right)x - 2f\left( a \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4x\left( {3x + 1} \right) - 2f\left( a \right)\left( {3x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {3x + 1} \right)\left[ {2x - f\left( a \right)} \right]\end{array}\)

Giải \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{3}\\x = \dfrac{1}{2}f\left( a \right) > 0\end{array} \right.\).

BBT h(x):

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \left| {4{x^3} + \left( {2 - 3f\left( a \right)} \right){x^2} - 2f\left( a \right).x + m} \right| = \left| {h\left( x \right)} \right|\) trên \(\mathbb{R}\) có: \(g'\left( x \right) = \dfrac{{h'\left( x \right).h\left( x \right)}}{{\left| {h\left( x \right)} \right|}}\).

Suy ra \(g'\left( x \right) = 0\) hoặc \(g'\left( x \right)\) không xác định \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h\left( x \right) = 0\\h'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)

+) \(h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + \left( {2 - 3f\left( a \right)} \right){x^2} - 2f\left( a \right).x + m = 0\).

Phương trình có tối đa 3 nghiệm phân biệt A, B, C với \(A < - \dfrac{1}{3} < B < \dfrac{1}{2}f\left( a \right) < C\).

+) \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{3}\\x = \dfrac{1}{2}f\left( a \right) > 0\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(y = g\left[ {f\left( x \right)} \right]\) trên \(\mathbb{R}\)có \(y' = f'\left( x \right).g'\left[ {f\left( x \right)} \right]\):

Khi đó\(y' = 0\) hoặc \(y'\) không xác định \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = - \dfrac{1}{3}\\f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}f\left( a \right)\\f\left( x \right) = A < - \dfrac{1}{3}\\f\left( x \right) = B \in \left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}f\left( a \right)} \right)\\f\left( x \right) = C > \dfrac{1}{2}f\left( a \right)\end{array} \right.\) (*)

Ta có bảng sau:

=> Hệ phương trình (*) có tối đa 13 nghiệm bội lẻ phân biệt. Khi đó hàm số \(g\left[ {f\left( x \right)} \right]\) có tối đa 13 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.