Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z + \left( {1 - i} \right)\overline z } \right| + \left|
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z + \left( {1 - i} \right)\overline z } \right| + \left| {\left( {1 + i} \right)z - \left( {1 - i} \right)\overline z } \right| = 4\) và số phức u thỏa mãn \(\left( {u - 1 + 3i} \right)\left( {i\overline u - 3 + 5i} \right)\) là số thực. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - u} \right|\). Giá trị của \({M^2} + {m^2}\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z và số phức u.
Sử dụng hình học phẳng để chứng minh.
Giả sử \(u = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {u - 1 + 3i} \right)\left( {i\overline u - 3 + 5i} \right)\\ = \left( {x + yi - 1 + 3i} \right)\left( {i\left( {x - yi} \right) - 3 + 5i} \right)\\ = \left[ {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right]\left[ {\left( {y - 3} \right) + \left( {x + 5} \right)i} \right]\end{array}\)
\( = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 3} \right) - \left( {y + 3} \right)\left( {x + 5} \right) + \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) + \left( {y + 3} \right)\left( {y - 3} \right)} \right]i\): là số thực.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) + \left( {y + 3} \right)\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 + {y^2} - 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 18\end{array}\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức u là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;0} \right),R = 3\sqrt 2 \).
Giả sử \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {\left( {1 + i} \right)z + \left( {1 - i} \right)\overline z } \right| + \left| {\left( {1 + i} \right)z - \left( {1 - i} \right)\overline z } \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {1 - i} \right)\left( {a - bi} \right)} \right| + \left| {\left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) - \left( {1 - i} \right)\left( {a - bi} \right)} \right| = 4\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {\left( {a - b} \right) + \left( {a + b} \right)i + a - b - \left( {a + b} \right)i} \right| + \left| {\left( {a - b} \right) + \left( {a + b} \right)i - a + b + \left( {a + b} \right)i} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {2a - 2b} \right| + \left| {2\left( {a + b} \right)i} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {a - b} \right| + \left| {a + b} \right| = 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm N(x;y) biểu diễn số phức zz là hình vuông ABCD.
Trong đó:A(-1;1), B(1;1), C(1;-1), D(-1;1).
Ta có: \(\left| {z - u} \right| = MN\), khi đó:
\(m = M{N_{\min }} = I{M_1} - I{N_1} = 3\sqrt 2 - 3\)
\(M = M{N_{\max }} = {M_2}B\) (hoặc \({M_2}C\))\(\,\, = \sqrt {{M_2}{N_1}^2 + B{N_1}^2} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 + 3} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {28 + 18\sqrt 2 } \).
Vậy \({M^2} + {m^2} = {\left( {3\sqrt 2 - 3} \right)^2} + \left( {28 + 18\sqrt 2 } \right) = 56.\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
