Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình \({\log _2}\dfrac{{{x^2} - 3x + 6}}{{243}} <

Câu hỏi số 637812:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình \({\log _2}\dfrac{{{x^2} - 3x + 6}}{{243}} < {\log _3}\dfrac{{{x^2} - 3x + 6}}{{32}}\)?

A. \(176\).

B. \(76\).

C. \(189\).

D. \(186\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637812

Phương pháp giải

Biến đổi logarit đưa về cơ số 2, phân tích nhân tử và giải bất phương trình.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \({\log _2}\dfrac{{{x^2} - 3x + 6}}{{243}} < {\log _3}\dfrac{{{x^2} - 3x + 6}}{{32}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) - {\log _2}243 < {\log _3}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) - {\log _3}32\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) - 5{\log _2}3 < {\log _3}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) - 5{\log _3}2\).

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) - 5{\log _2}3 < \dfrac{{{{\log }_2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\log }_2}3}} - \dfrac{5}{{{{\log }_2}3}}\).

\( \Leftrightarrow {\log _2}3.{\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) - 5{\left( {{{\log }_2}3} \right)^2} - {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) + 5 < 0\).

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right).\left( {{{\log }_2}3 - 1} \right) - 5\left[ {{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 1} \right] < 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right).\left( {{{\log }_2}3 - 1} \right) - 5\left( {{{\log }_2}3 + 1} \right)\left( {{{\log }_2}3 - 1} \right) < 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}3 - 1} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) - 5\left( {{{\log }_2}3 + 1} \right)} \right] < 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) - 5\left( {{{\log }_2}3 + 1} \right) < 0\,\,\,do\,\,{\log _2}3 - 1 > 0.\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) - 5{\log _2}6 < 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 6} \right) < {\log _2}{6^5}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 6 < {6^5}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 7770 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - \sqrt {31089} }}{2} < x < \dfrac{{3 + \sqrt {31089} }}{2}\,\,\,\,\left( {\dfrac{{3 - \sqrt {31089} }}{2} \approx - 86,7,\,\,\dfrac{{3 + \sqrt {31089} }}{2} \approx 89,7} \right)\end{array}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 86; - 87;...;89} \right\}\):176 giá trị.

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.