Xét số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z - 4 - 3i} \right| =

Câu hỏi số 637819:

Vận dụng cao

Xét số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z - 4 - 3i} \right| = \sqrt 5 \). Tính giá trị biểu thức \(P = a + b\) khi \(\left| {z + 1 - 3i} \right| + \left| {z - 1 + i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất ?

A. \(P = 4\).

B. \(P = 6\).

C. \(P = 10\).

D. \(P = 8\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637819

Phương pháp giải

Sử dụng hình học phẳng để đánh giá.

Áp dụng BĐT: \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2}\). Dấu “=” xảy ra khi \(x = y\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left| {z - 4 - 3i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 5 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {4;3} \right),\)bán kính \(R = \sqrt 5 \).

Xét \(T = \left| {z + 1 - 3i} \right| + \left| {z - 1 + i} \right| = MA + MB\)

(trong đó: \(A\left( { - 1;3} \right),B\left( {1; - 1} \right)\).

Gọi H là trung điểm của AB.

MH là đường trung tuyến của tam giác ABM nên: \(M{H^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}\).

\( \Leftrightarrow 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 4M{H^2} - A{B^2}\).

Mà \(2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) \ge {\left( {MA + MB} \right)^2}\).

\( \Rightarrow \)\({\left( {MA + MB} \right)^2} \le 4M{H^2} - A{B^2} \le 4{M_0}{H^2} - A{B^2} = const\).

(\({M_0}\) là giao của đường trung trực của đoạn thẳng AB và \(\left( C \right)\), và I nằm giữa H và \({M_0}\)).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\M \equiv {M_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) (do \(IA = IB\)).

\( \Rightarrow MA + MB\,\,\max \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\).

Xác định tọa độ của \({M_0}\):

Ta có: H là trung điểm của AB \( \Rightarrow H = \left( {0;1} \right)\).

Ta có: \(IA = IB = 5,AB = 2\sqrt 5 \Rightarrow IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {25 - 5} = 2\sqrt 5 \).

\( \Rightarrow {M_0}H = \dfrac{3}{2}IH \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}H} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {IH} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 - {x_{{M_0}}} = \dfrac{3}{2}.\left( {0 - 4} \right)\\1 - {y_{{M_0}}} = \dfrac{3}{2}\left( {1 - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{M_0}}} = 6\\{y_{{M_0}}} = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 10\).

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.