Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = \sqrt 3 ,AC = \sqrt 7 ,SA = 1\). Hai

Câu hỏi số 637820:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = \sqrt 3 ,AC = \sqrt 7 ,SA = 1\). Hai mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) lần lượt tạo với mặt đáy các góc bằng \({45^0}\) và \({60^0}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. \(\dfrac{1}{2}\).

B. \(\dfrac{7}{6}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\dfrac{{7\sqrt 7 }}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637820

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC).

Kẻ HM vuông góc AB, HN vuông góc AC (như hình vẽ).

\( \Rightarrow \widehat {SMH} = {45^0},\widehat {SNH} = {60^0}\).

Giả sử: \(MH = x,NH = y\,\,\left( {x,y > 0} \right)\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}AH = \sqrt {M{H^2} + N{H^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\SH = MH.\tan {45^0} = x\\SH = NH.\tan {60^0} = y\sqrt 3 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \\SH = x\\SH = y\sqrt 3 \end{array} \right.\).\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} = x\\x = y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} - {y^2} = {x^2}\\x = y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2{x^2} - {y^2} = 0\\x = y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2.3{y^2} - {y^2} = 0\\x = y\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{{\sqrt 7 }}\\x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\).

Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.\sqrt 3 .\sqrt 7 = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}\).

Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt {21} }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{1}{2}\).

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.