Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1011. Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \dfrac{{{{\left( {b -

Câu hỏi số 638290:

Vận dụng cao

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1011. Chứng minh:

\(\sqrt {2022a + \dfrac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \dfrac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:638290

Phương pháp giải

Tách \(2022a = 2.1011a = 2a\left( {a + b + c} \right)\), khai triển hằng đẳng thức \({\left( {b - c} \right)^2}\).

Chứng minh \(2022a + \dfrac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2} \le \dfrac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{2}\).

Chứng minh tương tự với hai biểu thức còn lại và suy ra điều phải chứng minh.

Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}2022a + \dfrac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2} = 2a.1011 + \dfrac{{{b^2}}}{2} - bc + \dfrac{{{c^2}}}{2}\\ = 2a\left( {a + b + c} \right) + \dfrac{{{b^2} - 2bc + {c^2}}}{2}\\ = 2{a^2} + 2ab + 2ac + \dfrac{{{b^2} - 2bc + {c^2}}}{2}\\ = \dfrac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2} + 4ab + 4ac - 2bc}}{2}\\ = \dfrac{{4{a^2} + {b^2} + {c^2} + 4ab + 4ac + 2bc}}{2} - 2bc\\ = \dfrac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc \le \dfrac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{2}\,\,\left( {do\,\,b,c \ge 0} \right)\end{array}\)

Suy ra: \(\sqrt {2022a + \dfrac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \dfrac{{2a + b + c}}{{\sqrt 2 }}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\sqrt {2022b + \dfrac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} \le \dfrac{{2b + c + a}}{{\sqrt 2 }}\)

\(\sqrt {2022c + \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \dfrac{{2c + a + b}}{{\sqrt 2 }}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2022a + \dfrac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \dfrac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \\ \le \dfrac{{2b + c + a}}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{{2a + b + c}}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{{2c + a + b}}{{\sqrt 2 }}\\ = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \left( {a + b + c} \right) = 2022\sqrt 2 \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}ab = bc = ca = 0\\a + b + c = 1011\end{array} \right.\).

Suy ra 2 trong 3 số a, b, c bằng 0, số còn lại bằng 1011.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link