Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P):ax + by + cz + 7 = 0\) qua điểm \(A(2;0;1)\), vuông

Câu hỏi số 640752:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P):ax + by + cz + 7 = 0\) qua điểm \(A(2;0;1)\), vuông góc với mặt phẳng \((Q):3x - y + z + 1 = 0\) và tạo với mặt phẳng \((R):x - y + 2z - 1 = 0\) một góc \({60^0}\). Tổng \(a + b + c\) bằng

A. 10.

B. 0.

C. -14.

D. 12.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:640752

Phương pháp giải

Sử dụng các thông tin đã cho để lập và giải hệ phương trình với \(a, b, c\):

Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(2;0;1)\): Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\).
\((P) \perp (Q)\) nên vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau: \(\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 0\).
Góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((R)\) là \({60^0}\) nên: \(|\cos((\vec{n_P}, \vec{n_R}))| = \cos 60^\circ\).

Giải chi tiết

Do mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(A(2 ; 0 ; 1)\) nên ta có:
\(2 a+c=-7 \Leftrightarrow c=-2 a-7\) (1)
Mặt phảng \((P),(Q),(R)\) có vectơ pháp tuyên lẩn lượt là:
\(\overrightarrow{n_1}=(a ; b ; c), \overrightarrow{n_2}=(3 ;-1 ; 1), \overrightarrow{n_3}=(1 ;-1 ; 2)\)
Do mặt phẳng \((P)\) vuõng góc vời mặt phẳng \((Q)\) nên ta có:
\(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}=0 \Leftrightarrow 3 a-b+c=0 \Leftrightarrow b=3 a+c \Leftrightarrow b=a-7\) (2)
Do mặt phẳng \((P)\) tạo vời mặt phẳng \((R)\) một góc \(60^{\circ}\) nên ta có:
\(\cos 60^{\circ}=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_3}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_3}\right|} \Leftrightarrow \dfrac{|a-b+2 c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{6}}=\dfrac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow 2|a-b+2 c|=\sqrt{6}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có:
\(2|a-b+2 c|=\sqrt{6} \sqrt{a^2+b^2+c^2} \)
\(\Leftrightarrow 2|a-a+7-4 a-14|=\sqrt{6} \sqrt{a^2+(a-7)^2+(-2 a-7)^2} \)
\(\Leftrightarrow 2|-4 a-7|=\sqrt{6} \sqrt{6 a^2+14 a+98} \)
\(\Leftrightarrow 28 a^2+140 a-392=0 . \)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=2 \\ a=-7\end{array}\right.\)
Với \(a=2 \Rightarrow b=-5, c=-11 \Rightarrow a+b+c=-14\).
Với \(a=-7 \Rightarrow b=-14, c=7 \Rightarrow a+b+c=-14\)
Vậy \(a+b+c=-14\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.