Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y),y \in \left[ {0;{{2023}^3}} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 640758:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y),y \in \left[ {0;{{2023}^3}} \right]\) thỏa mãn phương trình \({\log _4}\left( {x + \dfrac{1}{2} + \sqrt {x + \dfrac{1}{4}} } \right) = {\log _2}(y - x)\) ?

A. 90854.

B. 90990.

C. \({2021^2}\).

D. \({2021^2} - 1\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:640758

Phương pháp giải

B1: Tìm điều kiện xác định

B2: Sử dụng tính chất logarit để lập phương trình liên hệ rút y theo x

B3: Lập luận với x, y nguyên và \(y \in \left[ {0;{{2023}^3}} \right]\) để tìm các giá trị của m

Khi đó với mỗi m sẽ có tương ứng số cặp (x,y) nguyên thoả mãn bài toán.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - x > 0}\\{x \ge - \dfrac{1}{4}}\\{x + \dfrac{1}{2} + \sqrt {x + \dfrac{1}{4}} > 0}\end{array}} \right.\).

Ta có: \({\log _4}\left( {x + \dfrac{1}{2} + \sqrt {x + \dfrac{1}{4}} } \right) = {\log _2}(y - x)\)

\( \Leftrightarrow {\log _4}{\left( {\dfrac{1}{2} + \sqrt {x + \dfrac{1}{4}} } \right)^2} = {\log _2}(y - x)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{1}{2} + \sqrt {x + \dfrac{1}{4}} } \right) = {\log _2}(y - x)\)

\( \Leftrightarrow y - x = \dfrac{1}{2} + \sqrt {x + \dfrac{1}{4}} \)

\( \Leftrightarrow y = x + \dfrac{1}{2} + \sqrt {x + \dfrac{1}{4}} = {\left( {\sqrt {x + \dfrac{1}{4}} {\rm{\;}} + \dfrac{1}{2}} \right)^2}.\)

Đặt \(\sqrt {x + \dfrac{1}{4}} = m\) với \(m \ge 0\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = m + \dfrac{1}{2}\\y = {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\end{array} \right.\)

Để \(x,y \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{Z}\\y - x \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow m + \dfrac{1}{2} \in \mathbb{Z}\)

Do \(y \in \left[ {0;{{2023}^3}} \right]\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le {2023^3}\\m + \dfrac{1}{2} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 0 \le m + \dfrac{1}{2} \le \sqrt {{{2023}^3}} \Leftrightarrow m + \dfrac{1}{2} \in \left\{ {1,...,90990} \right\}\)

Do đó có 90990 giá trị của \(m\), ứng với đó có 90990 cặp \((x;y)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.