Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn \({2.3^{x - 1}} - {\log _3}\left( {{3^{x - 2}} + 2y} \right) =

Câu hỏi số 641180:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn \({2.3^{x - 1}} - {\log _3}\left( {{3^{x - 2}} + 2y} \right) = 6y - x + 1\) và \({2022^{ - 1}} \le y \le 2022?\)

A. 13.

B. 15.

C. 7.

D. 6.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:641180

Phương pháp giải

Xét hàm số đặc trưng.

Giải chi tiết

+ Điều kiện \({3^{x - 2}} + 2y > 0\).

+ Phương trình tương đương: \({2.3^{x - 1}} - {\log _3}\left( {{3^{x - 1}} + 6y} \right) = 6y - x(*)\).

+ Đặt: \(u = {\log _3}\left( {{3^{x - 1}} + 6y} \right) \Rightarrow {3^{x - 1}} + 6y = {3^u} \Rightarrow 6y = {3^u} - {3^{x - 1}}\).

Ta có: \((*) \Leftrightarrow {2.3^{x - 1}} - u = {3^u} - {3^{x - 1}} - x\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot {3^{x - 1}} + x = {3^u} + u \Leftrightarrow {3^x} + x = {3^u} + u.\)

+ Hàm số \(f(t) = {3^t} + t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên

\(\begin{array}{l}{3^x} + x = {3^u} + u \Leftrightarrow x = u\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\left( {{3^{x - 1}} + 6y} \right)\\ \Leftrightarrow {3^{x - 1}} + 6y = {3^x}\\ \Leftrightarrow y = {3^{x - 2}}{\rm{ (tm dk }}{3^{x - 2}} + 2y > 0{\rm{ )}}{\rm{.}}\end{array}\)

+ Do \({2022^{ - 1}} \le y \le 2022\) nên \({2022^{ - 1}} \le {3^{x - 2}} \le 2022\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}{2022^{ - 1}} \le x - 2 \le {\log _3}2022\\ \Leftrightarrow {\log _3}{2022^{ - 1}} + 2 \le x \le {\log _3}2022 + 2\\ \Rightarrow - 5 < x < 9.\end{array}\)

+ Do x nguyên, suy ra \(x \in \{ - 4; - 3; \ldots .;8\} \).

Với \(x \in \{ - 4; - 3; - 2; - 1;0;1\} \) suy ra \(y\) không nguyên do \(0 < y = {3^{x - 2}} < 1\).

Với \(x \in \{ 2;3;4;5;6;7;8\} \) suy ra \(y\) nguyên do \(y \in \left\{ {{3^0};{3^1};{3^2};{3^3};{3^4};{3^5};{3^6}} \right\}\).

Vậy có 7 cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.