Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 4\) và hai điểm A(1;2;4),
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 4\) và hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz + 3 = 0\,\,(a,b,c \in \mathbb{R})\) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của \(a + b + c\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I( - 1;1;0)\) và bán kính \(R = 2\).
Ta có \(IA = \sqrt {21} ,IB = \sqrt 3 \) nên \(A\) nằm ngoài \((S),B\) nằm trong \((S)\).
Do đó mặt phẳng \((P)\) luôn cắt \((S)\) theo một đường tròn \((C)\) tâm \(K\) bán kính \(r\).
Gọi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên đường thẳng AB.
Ta có \(IK = {\rm{d}}(I,(P))\) và \({r^2} = {R^2} - I{K^2}\).
Ta có \(IK \bot (P) \Rightarrow IK \le IM \Rightarrow {r^2} \ge {R^2} - I{M^2}\).
Đẳng thức xảy ra khi \(IM \bot (P)\). Khi đó \({\vec n_{(P)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {IA} } \right].\overrightarrow {AB} = (12; - 18;8)\).
Vì R; IM không đổi nên r có giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt {{R^2} - I{M^2}} \).
Khi đó phương trình mặt phẳng \((P)\) là
\(12(x - 0) - 18(y - 0) + 8(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 12x - 18y + 8z - 8 = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{9}{2}x + \dfrac{{27}}{4}y - 3z + 3 = 0\)
Vậy \(a + b + c = - \dfrac{9}{2} + \dfrac{{27}}{4} - 3 = - \dfrac{3}{4}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
