Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 4\) và hai điểm A(1;2;4),
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 4\) và hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz + 3 = 0\,\,(a,b,c \in \mathbb{R})\) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của \(a + b + c\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I( - 1;1;0)\) và bán kính \(R = 2\).
Ta có \(IA = \sqrt {21} ,IB = \sqrt 3 \) nên \(A\) nằm ngoài \((S),B\) nằm trong \((S)\).
Do đó mặt phẳng \((P)\) luôn cắt \((S)\) theo một đường tròn \((C)\) tâm \(K\) bán kính \(r\).
Gọi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên đường thẳng AB.
Ta có \(IK = {\rm{d}}(I,(P))\) và \({r^2} = {R^2} - I{K^2}\).
Ta có \(IK \bot (P) \Rightarrow IK \le IM \Rightarrow {r^2} \ge {R^2} - I{M^2}\).
Đẳng thức xảy ra khi \(IM \bot (P)\). Khi đó \({\vec n_{(P)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {IA} } \right].\overrightarrow {AB} = (12; - 18;8)\).
Vì R; IM không đổi nên r có giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt {{R^2} - I{M^2}} \).
Khi đó phương trình mặt phẳng \((P)\) là
\(12(x - 0) - 18(y - 0) + 8(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 12x - 18y + 8z - 8 = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{9}{2}x + \dfrac{{27}}{4}y - 3z + 3 = 0\)
Vậy \(a + b + c = - \dfrac{9}{2} + \dfrac{{27}}{4} - 3 = - \dfrac{3}{4}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
