Có bao nhiêu số nguyên \(x \in \left( {0;2025} \right)\) sao cho ứng với mỗi x, tồn tại ít nhất 10

Câu hỏi số 641539:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(x \in \left( {0;2025} \right)\) sao cho ứng với mỗi x, tồn tại ít nhất 10 số nguyên \(y \in \left( { - 3;10} \right)\) thỏa mãn \({2^y}{3^x} + 6560 \le {3^{2{x^2} + y}}\)?

A. 2021.

B. 2022.

C. 2023.

D. 2024.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:641539

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^y}{3^x} + 6560 \le {3^{2{x^2} + y}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^y}{.3^x} + 6560.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^y} \le {3^{2{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^y}{.3^x} + 6560.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^y} - {3^{2{x^2}}} \le 0\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( y \right) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^y}{.3^x} + 6560.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^y} - {3^{2{x^2}}}\): nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Yêu cầu đề bài: cho ứng với mỗi x, tồn tại ít nhất 10 số nguyên \(y \in \left( { - 3;10} \right)\) thoả mãn

\( \Leftrightarrow f\left( 0 \right) \le 0 \Leftrightarrow {3^x} + 6560 - {3^{2{x^2}}} \le 0\) (*).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {3^x} + 6560 - {3^{2{x^2}}}\) trên \(\left[ {1;2024} \right]\) có \(g'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 - 4x{.3^{2{x^2}}}\ln 3 = {3^x}\ln 3\left( {1 - 4x{{.3}^{2{x^2} - x}}} \right)\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}4x \ge 4\\{3^{2{x^2} - x}} \ge {3^1} = 3\end{array} \right.,\,\forall x \ge 1 \Rightarrow 4x{.3^{2{x^2} - x}} \ge 12,\,\forall x \ge 1 \Rightarrow g'\left( x \right) < 0,\,\forall x \ge 1\).

\( \Rightarrow g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {1;2024} \right]\).

Mà \(g\left( 2 \right) = 8 > 0,g\left( 3 \right) < 0\) nên (*) \( \Leftrightarrow x \ge 3 \Rightarrow x \in \left\{ {3;4;...;2024} \right\}\): 2022 giá trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.