Có bao nhiêu số nguyên \(x \in \left( {0;2025} \right)\) sao cho ứng với mỗi x, tồn tại ít nhất 10 số nguyên \(y \in \left( { - 3;10} \right)\) thỏa mãn \({2^y}{3^x} + 6560 \le {3^{2{x^2} + y}}\)?

Câu 641539: Có bao nhiêu số nguyên \(x \in \left( {0;2025} \right)\) sao cho ứng với mỗi x, tồn tại ít nhất 10 số nguyên \(y \in \left( { - 3;10} \right)\) thỏa mãn \({2^y}{3^x} + 6560 \le {3^{2{x^2} + y}}\)?

A. 2021.

B. 2022.

C. 2023.

D. 2024.

Câu hỏi : 641539

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{2^y}{3^x} + 6560 \le {3^{2{x^2} + y}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^y}{.3^x} + 6560.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^y} \le {3^{2{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^y}{.3^x} + 6560.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^y} - {3^{2{x^2}}} \le 0\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( y \right) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^y}{.3^x} + 6560.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^y} - {3^{2{x^2}}}\): nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Yêu cầu đề bài: cho ứng với mỗi x, tồn tại ít nhất 10 số nguyên \(y \in \left( { - 3;10} \right)\) thoả mãn
\( \Leftrightarrow f\left( 0 \right) \le 0 \Leftrightarrow {3^x} + 6560 - {3^{2{x^2}}} \le 0\) (*).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {3^x} + 6560 - {3^{2{x^2}}}\) trên \(\left[ {1;2024} \right]\) có \(g'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 - 4x{.3^{2{x^2}}}\ln 3 = {3^x}\ln 3\left( {1 - 4x{{.3}^{2{x^2} - x}}} \right)\).
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}4x \ge 4\\{3^{2{x^2} - x}} \ge {3^1} = 3\end{array} \right.,\,\forall x \ge 1 \Rightarrow 4x{.3^{2{x^2} - x}} \ge 12,\,\forall x \ge 1 \Rightarrow g'\left( x \right) < 0,\,\forall x \ge 1\).
\( \Rightarrow g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {1;2024} \right]\).
Mà \(g\left( 2 \right) = 8 > 0,g\left( 3 \right) < 0\) nên (*) \( \Leftrightarrow x \ge 3 \Rightarrow x \in \left\{ {3;4;...;2024} \right\}\): 2022 giá trị.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.