Cho khối nón đỉnh S và tâm của đường tròn đáy là O. Gọi M, N là hai điểm thuộc đường

Câu hỏi số 641540:

Vận dụng

Cho khối nón đỉnh S và tâm của đường tròn đáy là O. Gọi M, N là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho \(\tan \angle SMO = \dfrac{4}{3},\,\,\angle MSN = {60^0}\) và khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng (SMN) bằng \(\dfrac{{\sqrt {22} }}{5}\). Thể tích khối nón đã cho bằng

A. \(\dfrac{{45\pi \sqrt 6 }}{8}\).

B. \(\dfrac{{15\pi \sqrt 6 }}{8}\).

C. \(\dfrac{{27\pi \sqrt 6 }}{8}\).

D. \(\dfrac{{9\pi \sqrt 6 }}{8}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:641540

Phương pháp giải

Gọi SO = h > 0. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính độ dài cạnh OI theo h.

Giải phương trình tìm h.

Tính thể tích khối nón.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của MN, dựng OH vuông góc SI.

\( \Rightarrow OH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SMN} \right)} \right) = OH = \dfrac{{\sqrt {22} }}{5}\).

Tam giác SMN cân tại S có \(\angle MSN = {60^0} \Rightarrow \Delta SMN\) đều.

Giả sử \(SO = h > 0\).

Tam giác SMO vuông tại O \( \Rightarrow \tan M = \dfrac{{SO}}{{OM}} \Rightarrow \dfrac{4}{3} = \dfrac{h}{{OM}} \Rightarrow OM = \dfrac{3}{4}h\).

Và \(SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}} = \sqrt {{h^2} + \dfrac{9}{{16}}{h^2}} = \dfrac{5}{4}h\).

\( \Rightarrow MN = \dfrac{5}{4}h \Rightarrow MI = \dfrac{5}{8}h\).

Tam giác OIM vuông tại I \( \Rightarrow IO = \sqrt {O{M^2} - I{M^2}} = \sqrt {\dfrac{9}{{16}}{h^2} - \dfrac{{25}}{{64}}{h^2}} = \dfrac{{\sqrt {11} }}{8}h\).

Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{I^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{{22}}{{25}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{11}}{{64}}{h^2}}} + \dfrac{1}{{{h^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{{22}} = \dfrac{{75}}{{11{h^2}}} \Leftrightarrow h = \sqrt 6 \).

\( \Rightarrow OM = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{4}\).

Thể tích khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi .O{M^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{{54}}{{16}}.\sqrt 6 = \dfrac{{9\pi \sqrt 6 }}{8}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.