Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-3), mặt phẳng \((P):3x + y - z - 1 = 0\) và mặt phẳng \((Q):x + 3y

Câu hỏi số 642951:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-3), mặt phẳng \((P):3x + y - z - 1 = 0\) và mặt phẳng \((Q):x + 3y + z - 3 = 0\). Gọi \((\Delta )\) là đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q). Sin của góc tạo bởi đường thẳng \((\Delta )\) và mặt phẳng \((P)\) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt {55} }}{{55}}\).

B. 0 .

C. \(\dfrac{{ - 3\sqrt {55} }}{{11}}\).

D. \(\dfrac{{7\sqrt {55} }}{{55}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642951

Phương pháp giải

Ta có mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \).

Gọi \(d = (P) \cap (Q)\) thì \(d\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\).

Lấy điểm M bất kì thuộc (P) và (Q).

Viết phương trình tham số đường thẳng d.

Giả sử \(\Delta \cap d = B\), tham số hoá toạ độ điểm B theo biến t.

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\), ta có \(\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{|\overrightarrow {AB} |.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}}\).

Giải chi tiết

Ta có mặt phẳng \((P):3x + y - z - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = (3;1; - 1)\) và mặt phẳng \((Q):x + 3y + z - 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;3;1)\).

Gọi \(d = (P) \cap (Q)\) thì \(d\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = (4; - 4;8) = 4(1; - 1;2)\).

Suy ra \(d\) cũng nhận vectơ \(\vec u = (1; - 1;2)\) là một vectơ chỉ phương.

Lấy điểm \(M \in d = (P) \cap (Q) \Rightarrow \) Toạ độ điểm \(M\) thoả mãn hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y - z - 1 = 0}\\{x + 3y + z - 3 = 0}\end{array}} \right.\).

Chọn \(y = 1 \Rightarrow x = z = 0 \Rightarrow M(0;1;0)\).

Phương trình tham số đường thẳng \(d\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 - t(t \in \mathbb{R}){\rm{. }}}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)

Giả sử \(\Delta \cap d = B \Rightarrow B(t;1 - t;2t) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = (t - 1; - t - 1;2t + 3)\).

Vì \(AB \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\vec u = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( - 2;0;1)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.