Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BCtheo thứ

Câu hỏi số 646126:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC

theo thứ tự tại I và K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC tại M và N.

a) Chứng minh AK \( \bot \) BN.

b) Chứng minh NI \( \bot \) AB, KM \( \bot \) AB.

c) Chứng minh MINK là hình thoi.

d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để MINK là hình vuông?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:646126

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ADC\left( {\widehat D = {{90}^ \circ }} \right) \Rightarrow \widehat {DAC} + \widehat C = {90^ \circ }\)(tc)

\(\Delta BEC\left( {\widehat F = {{90}^ \circ }} \right) \Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat C = {90^ \circ }\) (tc)

\( \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {EBC} \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{A_3}} = \dfrac{1}{2}\widehat {DAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {EBC} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{B_3}} = \widehat {{A_2}}\).

* \(\Delta BMD\) có \(\widehat D = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {{B_3}} + \widehat {BMD} = {90^ \circ }\) (tc)

Mà \(\widehat {BMD} = \widehat {AMP}\) (đđ); \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{A_2}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {{A_2}} + \widehat {AMP} = {90^ \circ }\)

\(\Delta AMP\) có \(\widehat {{A_2}} + \widehat {AMP} + \widehat {APM} = {180^ \circ }\) (tc)

\( \Rightarrow \widehat {APM} = {90^ \circ } \Rightarrow AP \bot MN \Rightarrow AK \bot BN\).

b) * Xét \(\Delta ABN\) có \(BE \bot AN;AP \bot BN\) (cmt)

\(AP \cap BE = \left\{ I \right\} \Rightarrow \) I là trựctâm \(\Delta ABN\)

\( \Rightarrow NI \bot AB\)

Chứng minh tương tự ta có M là trực tâm \(\Delta ABK\)

\( \Rightarrow KM \bot AB.\)

c) \(\Delta BIK\) có \(BP \bot IK\) và BP là phân giác \(\widehat {IBK}\) nên

\(\Delta BIK\) cân \( \Rightarrow \) PI = PK. (1)

*\(\Delta AMN\) có AP \( \bot \) MN và AP là phân giác \(\widehat {MAN}\) cân \( \Rightarrow \) PM = PN (2)

Từ (1) (2) \( \Rightarrow \) tứ giác MINK là hình bình hành mà MN \( \bot \) IK \( \Rightarrow \) MINK là hình thoi.

d) Gỉa sử MINK là hình vuông \(\widehat {MIN} = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow MI \bot IN\)mà \(IN \bot AB \Rightarrow IM//AB\)

\( \Rightarrow \widehat {PIM} = \widehat {PAB} = {45^ \circ }\) (đồng vị, tính chất hình vuông)

\(\widehat {PMI} = \widehat {PBA} = {45^ \circ }\)(đồng vị, tính chất hình vuông)

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\left( {\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_2}}} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}}\)

\( \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {CAB} \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại C.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link