Cho tam giác ABC vuông tại \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của BC; P, N lần lượt là chân đường

Câu hỏi số 646131:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của BC; P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống CA, AB.

a) Chứng minh \(\Delta CMP = \Delta MBN\).

b) Chứng minh tứ giác APMN là hình chữ nhật. Từ đó suy ra \(N\) là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.

c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh rằng tứ giác AMCQ là một hình thoi.

d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:646131

Giải chi tiết

a) Ta có: MN \( \bot \)AB (gt)

AC \( \bot \) AB (gt)

Suy ra MN // AC.

Xét ΔCMP và ΔMBN có:

MC = MB (gt)

\(\widehat {BMN} = \widehat {MCP}\) (đồng vị)

\( \Rightarrow \)ΔCMP = ΔMBN (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow \)MN = PC; MP = AN(1)

b) Xét tứ giác APMN có: \(\widehat A = \widehat P = \widehat N = {90^0}\)\( \Rightarrow \)APMN là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow \)AP = MN; PM = NA (2)

Từ (1) và (2) suy ra AP = PC; AN = NB hay P là trung điểm của AC; N là trung điểm của AB.

c) Vì \(\Delta CMP = \Delta MBN\) nên CP = MN ( tương ứng)

Vì APMN là hình chữ nhật nên

PA = MN (tc)

Suy ra PA = PC mà PM = PQ nên AMCQ là hình bình hành (dhnb)

Mặt khác AC \( \bot \) MQ nên tứ giác AMCQ là hình thoi.

d) Nếu \(\Delta ABC\) vuông cân tại A thì AM \( \bot \) BC (vì MB = MC)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} = {90^ \circ }.\)

\( \Rightarrow \) Hình thoi AMCQ là hình vuông (dhnb).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link