Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 2. tìm giá trị nhỏ nhất của P = +

Câu hỏi số 6463:

Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 2. tìm giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{1}{2+6a^{2}+9a^{4}}$ + $\frac{1}{2+6b^{2}+9b^{4}}$

A. Giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{3}{17}$

B. Giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{4}{17}$

C. Giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{5}{17}$

D. Giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{2}{17}$

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:6463

Giải chi tiết

Ta có bđt $\frac{1}{1+x^{2}}$ + $\frac{1}{1+y^{2}}$ ≥ $\frac{1}{1+xy}$ ( * ) với mọi x, y > 1.

Thật vậy (*)⇔ (1 + y²)(1 + xy) + ( 1 + x²)(1 + xy) ≥ 2(1 + x²)(1 + y²)

⇔ x³y + xy³ + 2xy ≥x² + y² + 2x²y² ⇔ ( xy – 1)( x – y)² ≥ 0 đúng.

Từ đó ta có P = $\frac{1}{1+(1+3a^{2})^{2}}$ + $\frac{1}{1+(1+3b^{2})^{2}}$ ≥ $\frac{1}{1+(1+3a^{2})(1+3b^{2})}$

Ta có 1 + (1 + 3a²)(1 + 3b²) = 2 + 3(a² + b²) + 9a²b² = 9² – 6t + 2 + 3(a + b)² = 9t² – 6t + 14 = (3t – 1)² + 13 với t = ab ∈[0;1].

Từ đó 1 + ( 1 + 3a²)(1 + 3b²) ≤ ( 3 – 1)² + 13 = 17.

Tức là P ≥ $\frac{2}{17}$ .

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1

Giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{2}{17}$ .

Đáp án cần chọn là:

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.