Tính giới hạn của các hàm số sau:a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} +

Câu hỏi số 648801:

Vận dụng

Tính giới hạn của các hàm số sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3} - x} \right)\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right)\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - x} - \sqrt {5 + 4{x^2}} } \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648801

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc tính giới hạn.

Giải chi tiết

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{x^2} + 3} - x = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} } \right)}^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{3}{{\sqrt {{x^2} + 3} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{3}{{x\sqrt {1 + \dfrac{3}{{{x^2}}}} + \dfrac{1}{x}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{x} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{3}{{\sqrt {1 + \dfrac{3}{{{x^2}}}} + \dfrac{1}{x}}} = 0 \cdot \dfrac{3}{{\sqrt {1 + 0} + 0}} = 0.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} - x + 1 + {{(x - 2)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - (x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - 3x + 5}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - x + 2}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x\left( { - 3 + \dfrac{5}{x}} \right)}}{{|x|\sqrt {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x\left( { - 3 + \dfrac{5}{x}} \right)}}{{ - x\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \dfrac{2}{x}} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - 3 + \dfrac{5}{x}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \dfrac{2}{x}}} = \dfrac{{ - 3 + 0}}{{\sqrt {1 - 0 + 0} + 1 - 0}} = \dfrac{{ - 3}}{2}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + x} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {4 + {x^2}} } \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + x - \left( {4 + {x^2}} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {1 - \dfrac{4}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt {\dfrac{4}{x} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {1 - \dfrac{4}{x}} \right)}}{{\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt {\dfrac{4}{x} + 1} } \right)}} = \dfrac{1}{2}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - x} - \sqrt {5 + 4{x^2}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4{x^2} - x - \left( {5 + 4{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} - x} + \sqrt {5 + 4{x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x - 5}}{{\sqrt {4{x^2} - x} + \sqrt {5 + 4{x^2}} }}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x\left( {1 + \dfrac{5}{x}} \right)}}{{|x|\left( {\sqrt {4 - \dfrac{1}{x}} + \sqrt {\dfrac{5}{{{x^2}}} + 4} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x\left( {1 + \dfrac{5}{x}} \right)}}{{ - x\left( {\sqrt {4 - \dfrac{1}{x}} + \sqrt {\dfrac{5}{{{x^2}}} + 4} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{5}{x}}}{{\sqrt {4 - \dfrac{1}{x}} + \sqrt {\dfrac{5}{{{x^2}}} + 4} }}\)

\( = \dfrac{{1 + 0}}{{\sqrt {4 - 0} + \sqrt {0 + 4} }} = \dfrac{1}{4}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.